Matemáticas aplicadas

Derivando con respecto a x, resulta
Por la regla del producto,
Asimismo,
d
dx
d
dx
d
dx
d
d d
(xy) (ln x) 2 (ln y) dx (7) 0
dx
dx
d
d
dy
(xy) (x) y x (y) 1 y x y x
dx
dx
dx
1
d d dy
(ln x) y también (ln y) (ln y)
x
dx dy dx
dy
dx
1
y
dy
dx
☛ 9. Encuentre
dy
dx
a) 2x 2 3y 2 2
b) x 2 4xy y 2 1
si
En consecuencia,
y x dy
1
2 dy
0
dx
Agrupamos todos los términos que contengan derivadas en el lado izquierdo y pasamos
los demás términos a la derecha y despejamos dy/dx.
x 2 dy
1
y x
y
dx
x
dy y 1/x y(xy 1)
☛ 9
dx x 2/y x(xy 2)
EJEMPLO 3 Determine la ecuación de la línea tangente en el punto (2, 1 )
2
a la
gráfica de la relación implícita
xy 2 x 2 y y x 0
Solución La pendiente de la línea tangente es igual a la derivada dy/dx evaluada
en x 2 y y 1 .
2
Derivando la relación implícita completa con respecto a x, obtenemos
d
(xy 2 d
) (x 2 dy
y) 1 0
dx dx dx
y
dx
Los primeros dos términos deben evaluarse usando la regla del producto. Así, resulta
dy
y2 1 x 2y dy
x2 y 2x
dy
1 0
dx
de modo que (2xy x 2 1)(dy/dx) 2xy y 2 1. En consecuencia,
dx
dx
Respuesta a) d y
2
x
dx
3y
b) d y (x 2y)
dx
2x y
dy 2xy y
2 1
dx 2xy x2 1
Haciendo x 2 y y 1 ,
2
obtenemos la pendiente de la línea tangente en el punto
requerido
dy 2(2)( 1 2
) (1 2 )2 1
1 dx 2(2)( 1 ) 2 (2)2 1 4
602 CAPÍTULO 14 MÁS SOBRE DERIVADAS