Matemáticas aplicadas

te evidente que la línea de utilidad constante con el valor más grande de P que intersecta
la región factible es la que pasa por la esquina del punto B. Este punto es la
intersección de las dos líneas rectas
x 3y 60 y 3x 4y 90
☛ 9. En el ejemplo 2, ¿cómo debe
modificar la compañía su estrategia
de producción si
a) tiene disponible más fosfato;
b) hay más potasio disponible
(Nota: Responder a este tipo de
preguntas (denominado análisis de
sensibilidad) es útil para saber
cómo cambian las fronteras de la
región factible).
Sus coordenadas son x 6 y y 18.
Por tanto, concluimos que la utilidad máxima se obtiene fabricando 6 toneladas
del tipo regular y 18 toneladas del tipo super de fertilizante al mes. La utilidad
máxima está dada por
P máx
300x 480y 300(6) 480(18) 10,440 dólares
Vale la pena notar que la producción que maximiza la utilidad usa todos los
nitratos disponibles, así como el potasio; pero no emplea todos los fosfatos disponibles
y además no utiliza toda la capacidad de la planta. ☛ 9
DEFINICIÓN Las desigualdades que deben satisfacer las variables de un problema
de programación lineal se denominan restricciones. La función lineal que debe ser
maximizada o minimizada se conoce como función objetivo.
En las aplicaciones a análisis de negocios, la función objetivo a menudo es
una función de utilidad (que debe ser maximizada) o una función de costo (que debe
minimizarse). Por lo regular, denotamos a la función objetivo con la letra Z, y lo
haremos así de ahora en adelante.
El ejemplo siguiente ilustra un problema de programación lineal que requiere
la minimización del costo.
EJEMPLO 3 (Decisiones sobre producción) Una compañía de productos químicos
está diseñando una planta que producirá dos tipos de polímeros, P 1
y P 2
. La
planta debe tener la capacidad de producir al menos 100 unidades de P 1
y 420 unidades
de P 2
al día. Hay dos diseños posibles para la cámara de reacción básica que
tiene que incluirse en la planta: cada cámara del tipo A tiene un costo de $600,000
con una capacidad de producción de 10 unidades de P 1
al día y 20 unidades de P 2
al
día; el tipo B es un diseño más barato, pues tiene un costo de $300,000 y una capacidad
de producción de 4 unidades de P 1
y 30 unidades de P 2
al día. Debido a los
costos de operación es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta.
¿Cuántas cámaras de cada tipo deberían incluirse para minimizar el costo de
construcción y aún cumplir con el programa de producción requerida
Respuesta a) La recta DE se
mueve hacia la derecha. Esto no
afecta el vértice B, de modo que la
solución óptima permanece sin
cambio.
b) La recta AB se mueve hacia arriba.
El vértice B se mueve
hacia arriba y hacia la izquierda, de
modo que el valor óptimo de x
disminuirá y el de y aumentará. La
utilidad aumentará.
Solución La información dada se resume en la tabla 3.
TABLA 3
P 1
P 2
Costo
Cámara A 10 20 6
Cámara B 4 30 3
Requerimientos 100 420
SECCIÓN 10-2 OPTIMIZACIÓN LINEAL (ENFOQUE GEOMÉTRICO) 413