Matemáticas aplicadas

EJEMPLO 3 Minimice C 10 x 2y sujeta a las restricciones x 0, y 0,
x y 5 y 2x y 6.
Solución Primero defina Z x 2y. Entonces, C 10 Z, y debemos maximizar
Z, que será equivalente a minimizar C.
Introduciendo variables de holgura en la manera usual, el problema de programación
lineal se transforma, en la forma estándar,
Maximizar
Z x 2y
Sujeta a x y t 5, 2x y u 6, x, y, t, u 0
Ahora intentamos encontrar una SBF haciendo x y 0, para iniciar el método
símplex. Obtenemos t 5 y u 6, y ésta no es factible ya que u 0.
Es posible salvar esta dificultad por medio de la sencilla estrategia de introducir
otra variable , denominada variable artificial, en la segunda restricción de modo
que las restricciones se transforman en
x y t 5, 2x y u 6, x, y, t, u, 0
Ahora podemos obtener una SBF poniendo x y u 0, y las variables básicas
son t 5 y 6, ambas positivas.
Por supuesto, al introducir la variable ha cambiado el problema. Pero cuando
0, el nuevo conjunto de restricciones es el mismo que el anterior. Por tanto, si
estamos seguros de que es cero en la solución final del nuevo problema, esta solución
también debe resolver el problema dado.
Podemos asegurar que se lleva a cero cambiando la función objetivo a Z
x 2y M, donde M es un número muy grande, por ejemplo, un millón. M se
conoce como la penalización asociada con la variable artificial, y su efecto es asegurar
que cualquier valor diferente de cero de produce un valor negativo grande
de la función objetivo, que por tanto debe ser menor al valor máximo. En el máximo
de esta nueva Z, debe ser cero.
Entonces la tabla para nuestro nuevo problema es
x y t u
t 1 1 1 0 0 5
2 1 0 1 0 6
u 1 2 0 0 M Z
Sin embargo, esta tabla no está totalmente en la forma usual, ya que el indicador no
es cero en la columna de , y es una variable básica. La operación R 3
MR 2
resuelve
ese pequeño problema, y queda
Ahora procedemos con el método símplex usual. El indicador más grande es 2M 1,
en la columna de x, de modo que x entra a la base, y las razones usuales a la derex
y t u
→
2 1 0 1 1
6
→t 1 1 1 0 0 5 5 1 5
6 2 3
→u 2M 1 M 2 0 M 0 Z 6M
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SECCIÓN 10-4 MÉTODO SÍMPLEX 435