Matemáticas aplicadas

1
y
y f (x) 1 y
(2x 3)
4
y f (x ) 1
b a
1 x
a b x
FIGURA 25 FIGURA 26
La gráfica de una función de densidad uniforme es como se muestra en la figura 26.
La función f(x) es sin duda una densidad, porque f(x) 0 sobre a x b (dado
que b a 0) y
b
a
f(x) dx b
a
1
b a
x
dx b a
b
a
b a
1 b a
EJEMPLO 2 (Tiempo de espera) El autobús urbano parte de la terminal de la ciudad
universitaria hacia el centro de la ciudad cada 20 minutos. Un estudiante llega
a la parada del autobús al azar y lo espera. ¿Cuál es la probabilidad de que deba esperar
al menos 5 minutos antes de abordar el autobús
☛ 33. Escriba la función de
densidad de probabilidad uniforme
f(x) en el intervalo 1 x 9
Determine P(2 x 5)
Solución La variable aleatoria X, que es el tiempo de espera hasta la llegada del
próximo autobús, está distribuida uniformemente en el intervalo 0 X 20. Así
que la f.d.p. está dada por
1
para 0 x 20
f(x) 2 0
0 en cualquier otra parte
En consecuencia,
P(X 5) 20
f(x) dx
5
20 1
5 2 0 dx x 20
20
2 0 5
3
5 20
2 0 4 ☛ 33
Respuesta
f(x) 1 8 ; 3 8
A menudo necesitamos considerar variables aleatorias continuas, cuyos valores
no están en un intervalo finito a X b sino en un intervalo semiinfinito del
tipo a X q o el intervalo infinito completo q X q. En tales casos, debemos
hacer que b → q y (en el segundo caso) a → q; entonces, ciertas probabilidades
están dadas por integrales impropias (véase la sección 16-2). Por ejemplo,
si X asume valores en q X q, entonces, la probabilidad de que X d está
dada por
P(X d) d f(t) dt lím d
f(t) dt
q a→q a
SECCIÓN 16-8 APLICACIONES A PROBABILIDAD (SECCIÓN OPCIONAL) 707