Matemáticas aplicadas

☛ 16. Determine x 3 e x2 dx
[Sugerencia: Primero sustituya
u x 2 ]
En el último paso hemos escrito ln ⏐2x 1⏐ ln (2x 1), ya que la integral sólo
está definida si 2x 1 0
EJEMPLO 4 Encuentre x 2 e mx dx (m ≠ 0)
Solución Aquí elegimos f(x) x 2 y g(x) e mx . Luego, f′(x) 2x y G(x)
e mx /m. Usando la fórmula de integración por partes:
f(x)g(x) dx f(x)G(x) f′(x)G(x) dx (2)
o asimismo
e
x 2 e mx dx x 2 mx e
2x mx 1 2
dx x 2 e mx m xe mx dx (3)
m
m
m
(Compare lo anterior con la fórmula 70 del apéndice II). Con el propósito de evaluar
la integral de la derecha, usamos otra vez integración por partes, con f(x) x y
g(x) e mx . Entonces, f′(x) 1 y G(x) e mx /m. Aplicando la ecuación (2),
e
xe mx dx x mx e
1 mx x 1
dx e mx
m
Sustituyendo el valor de esta integral en la ecuación (3), resulta
1 2 x 1
x 2 e mx dx x 2 e mx e mx e mx C
m
m
m
m
m
m
2
m
e mx
m
1
m
3
e mx (m 2 x 2 2mx 2) C
Respuesta
Integral 1 2 ex2 (x 4 2x 2 2) C
en donde por último sumamos la constante de integración C ☛ 16
EJERCICIOS 15-4
(1-34) Evalúe las siguientes integrales.
1. x ln x dx 2. x 3 ln x dx
3. x n ln x dx 4. ln (x 1) dx
ln (x 2 )
x
2
x
5. ln x dx 6. dx
7. x ln x dx 8. x 3 ln (x 3 ) dx
ln x
9. dx 10. (x 2 5)ln x dx
11. (x 1) 2 ln (x 1) dx
12. (x 2) 3 ln (x 2) dx
13. ln (ex) dx 14. ln (2x) dx
15. x 2 ln (ex) dx 16. x 3 ln (3x) dx
*17. log x dx *18. log 2
x dx
*19. x log x dx *20. x 3 log x dx
SECCIÓN 15-4 INTEGRACIÓN POR PARTES 643