Matemáticas aplicadas

☛ 20. Vuelva a resolver el
ejemplo 4, si la ecuación de
transformación del producto es
x 2 – 2y 2 x y 7 4
Empleando el método de los multiplicadores de Lagrange, construimos la función
Así, los puntos críticos están dados por
F(x, y, ) P(x, y) g(x, y)
F x
P x
g x
4 (2x 2) 0
F y
P y
g y
6 (2y 4) 0
F
g 0
Esta expresión de F
es igual que la ecuación restrictiva dada. A partir de las ecuaciones
para F x
y F y
,
2 3
x 1 y 2
Por consiguiente, 2(y 2) 3(x 1) o y (3x 1)/2. Sustituyendo esto en la
ecuación (8), obtenemos una ecuación sólo en términos de x.
x 2 3x 1
2
2
2x 4 3x 2
1
4 0
Después de simplificar, esto se reduce a 13x 2 26x 23 0. A partir de la fórmula
cuadrática, encontramos las raíces
613
x 1 0.664 o bien, 2.664
13
Por supuesto, sólo la raíz positiva x 0.664 tiene sentido. Con este valor de x, tenemos
y 3x 1
3(0.66 4) 1
0.496
2
2
Así que los niveles de producción óptimos son de 664 unidades por lo que respecta
a A y de 496 unidades en el caso de B por semana. La utilidad máxima es
esto es, $5630 por semana. ☛ 20
P 4(0.664) 6(0.496) 5.63
El método de multiplicadores de Lagrange también puede utilizarse cuando
hay más de una restricción. Si f(x, y, z) ha de maximizarse o minimizarse sujeta a
las dos restricciones g 1
(x, y, z) 0 y g 2
(x, y, z) 0, entonces, construimos la función
auxiliar F de la siguiente manera:
F(x, y, z, 1
, 2
) f(x, y, z) 1
g 1
(x, y, z) 2
g 2
(x, y, z)
Respuesta x y 0.5
Luego, los puntos críticos se obtienen resolviendo las ecuaciones
F x
F y
F z
F 1
F 2
0
SECCIÓN 17-5 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (SECCIÓN OPCIONAL) 757