Matemáticas aplicadas

intervalos, x 4, 4 x 1 y x 1. En cada uno de estos intervalos, la expresión
siempre conserva el mismo signo, ya que sólo cambia de signo cuando pasa por
el cero, y esto sucede sólo cuando x = 4 o 1.
4 0 1
FIGURA 6
☛ 13. Resuelva las desigualdades:
a) (x 1)(x 3) 0
b) (x 1)(x 4) 0
c) (x 3) 2 2 0
Tomemos cualquier punto en el primer intervalo x 4: seleccionamos x 5.
Entonces x 2 3x 4 (5) 2 3(5) 4 6 0. La desigualdad es falsa, de
modo que es falsa para todos los puntos en el intervalo x 4.
En 4 x 1 seleccionamos el punto x 0. Entonces, x 2 3x 4 (0) 2
3(0) 4 4 0. La desigualdad es verdadera, por lo que es cierta para todas
las x que satisfagan 4 x 1.
En x 1 seleccionamos x 2. Entonces x 2 3x 4 (2) 2 3(2) 4
6 0. La desigualdad es falsa, de modo que es falsa para toda x 1.
Por tanto el conjunto solución es el intervalo (4, 1). Esto se ilustra en la figura
7. ☛ 13
(
4 0
)
1
FIGURA 7
EJEMPLO 2 Resuelva la desigualdad 5x 2(x 2 6).
Solución Pasando todos los términos a la izquierda, la desigualdad dada se transforma
en
5x 2x 2 12 0
Siempre conviene tener el término cuadrático con signo positivo, porque entonces,
la factorización es más fácil. Así, multiplicamos ambos lados de esta desigualdad
por 1 y cambiamos el sentido de la desigualdad.
Respuesta a) 1 x 3
b) x 4 o x 1
c) no hay solución
5x 2x 2 12 0
2x 2 5x 12 0
Al reemplazar el signo por el signo obtenemos la ecuación cuadrática 2x 2
5x 12 0; y por medio de la factorización,
(2x 3)(x 4) 0
Las raíces son x 3 2 y x 4, que dividen a la recta numérica en los tres intervalos
(q, 3 2 ), ( 3 2 , 4) y (4, q) como se muestra en la figura 8. Seleccionar cual-
106 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES