Matemáticas aplicadas

83. (Función de costo) Una companía manufacturera encuentra
que el costo de producir x unidades por hora está dado
por la fórmula
C(x) 5 10 log(1 2x)
Calcule:
a) El costo de producir 5 unidades por hora.
b) El costo extra por aumentar la tasa de producción de 5
a 10 unidades por hora.
c) El costo extra por aumentar de 10 a 15 unidades por
hora.
84. (Publicidad y ventas) Una compañía encuentra que la cantidad
de dólares y que debe gastar semanalmente en publicidad
para vender x unidades de su producto está dada por
y 200 ln
400
50 0 x
Calcule el gasto publicitario que se necesita para vender:
a) 100 unidades
b) 300 unidades
c) 490 unidades
85. (Función de costo) Una compañía está ampliando sus instalaciones
y tiene opción para elegir entre dos modelos.
Las funciones de costos son C 1
(x) 3.5 log(2x 1) y
C 2
(x) 2 log(60x 105) donde x es la tasa de producción.
Encuentre la tasa x a la cual los dos modelos tienen
los mismos costos. ¿Para valores grandes de x, cuál modelo
es más barato
86. (Fisiología animal) Si W es el peso de un animal promedio
de una especie a la edad t, se encuentra a menudo que
ln W ln (A W ) B(t C)
donde A, B y C son ciertas constantes. Exprese W como
una función explícita de t.
6-4 APLICACIONES Y PROPIEDADES ADICIONALES
DE LOS LOGARITMOS
Ecuaciones exponenciales
Una de las aplicaciones más importantes de los logaritmos es en la resolución de
ciertos tipos de ecuaciones, en que la incógnita aparece como un exponente. Consideremos
los siguientes ejemplos:
EJEMPLO 1 (Crecimiento de la población) En 1980, la población de cierta ciudad
era de 2 millones de habitantes y estaba creciendo a una tasa del 5% anual.
¿Cuándo rebasará la población la marca de los 5 millones, suponiendo que la tasa
de crecimiento es constante
Solución A una tasa de crecimiento del 5%, la población se multiplica por un factor
de 1.05 cada año. Después de n años, a partir de 1980, el nivel de la población es
2(1.05) n millones
Buscamos el valor de n para el cual este nivel sea de 5 millones, de modo que tenemos
2(1.05) n 5 o (1.05) n 2.5
Observe que en esta ecuación, la cantidad desconocida n aparece como exponente.
Podemos resolverla tomando logaritmos en ambos lados. No importa qué base usemos,
pero es más conveniente la de los logaritmos comunes. Obtenemos
log (1.05) n log 2.5
o bien, usando la propiedad 4 de los logaritmos,
n log 1.05 log 2.5
248 CAPÍTULO 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES