Matemáticas aplicadas

☛ 5. En una PA finita, demuestre
que el promedio de todos los
términos es igual al promedio del
primero y último términos.
Sumando los dos valores de S n
, obtenemos
2S n
[a l] [a d l d] [a 2d l 2d]
[l d a d] [l a]
Hay n términos en el lado derecho y cada uno es igual a a l. En consecuencia,
o bien,
2S n
n(a l)
S n
n (a l) (5)
2
Respuesta El promedio de n términos
es igual a su suma, S n
, dividido
entre n. De la ecuación (5), esto es
S n
/n 1
2
(a l)
Sustituyendo el valor de l de la ecuación (4) en la ecuación (5),
S n
n 2 [a a (n 1)d] n [2a (n 1)d] ☛ 5
2
Estos valores se resumen en el siguiente teorema.
TEOREMA 1 La suma de n términos de una PA con primer término a y diferencia
común d está dada por
S n
n [2a (n 1)d]
2
También podemos escribir esta fórmula como
S n
n (a l) en donde l a (n 1)d
2
EJEMPLO 5 Calcule la suma de los primeros 20 términos de la progresión
2 5 8 11 14
Solución La sucesión dada es una PA porque
5 2 8 5 11 8 14 11 3
☛ 6. Determine la suma de todos
los números pares positivos menores
que 200 y la suma de todos los
números impares positivos menores
que 200.
Así, la diferencia común es d 3. También, a 2 y n 20. Por tanto,
S n
n [2a (n 1)d]
2
S 20
2 0
[2(2) (20 1)3] 10(4 57) 610 ☛ 6
2
Respuesta 2 4 6
198 9900;
1 3 5 199 10,000
EJEMPLO 6 (Pago de préstamo) Considere el préstamo del banco al señor Muñiz
por $5000 a un interés mensual del 1%. Cada mes paga $200 al capital más el interés
mensual del balance pendiente. ¿Cuánto deberá pagar en total en el tiempo que
está pagando el préstamo
270 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS