Matemáticas aplicadas

da vez, los costos de almacenamiento serán bajos pero los costos de acomodar las
órdenes serán altos, dado que las órdenes deberán realizarse con frecuencia. Entre
estos extremos podemos esperar encontrar un tamaño óptimo de cada orden que haga
el costo total de almacenamiento más el de acomodo un mínimo. Este óptimo se
denomina el tamaño del lote económico. Puede determinarse, al menos en el caso de
un modelo simple, mediante un método similar al que se dio. (Véase el ejercicio 29
de esta sección y el número 31 de los problemas de repaso).
EJERCICIOS 13-5
1. (Teoría de números) Determine dos números cuya suma
sea 10 y tales que su producto sea máximo.
2. (Teoría de números) Encuentre dos números con suma
igual a 8, de modo que la suma de sus cuadrados sea un mínimo.
3. (Teoría de números) Determine dos números positivos cuya
suma sea 75, tales que el producto de uno por el cuadrado
del otro sea máximo.
4. (Teoría de números) Determine dos números positivos con
suma igual a 12 de modo que la suma de sus cubos sea un
mínimo.
5. (Geometría) Demuestre que entre todos los rectángulos de
área igual a 100 centímetros cuadrados, el que tiene perímetro
más pequeño es el cuadrado de lado igual a 10 centímetros.
6. (Geometría) ¿Cuál es el área del máximo rectángulo que
puede inscribirse en un círculo de radio a
7. (Geometría) ¿Cuál es el área del máximo rectángulo que
puede inscribirse en un semicírculo de radio a
8. (Costos de cercas) Un granjero desea delimitar una parcela
rectangular de área 900 metros cuadrados. La cerca tiene
un costo de $15 por metro. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones
de la parcela de modo que se minimice el costo
del cercado ¿Cómo cambia su respuesta si el costo de cercado
sube a $20 por metro
9. (Costos de cercas) Repita el ejercicio 8 en el caso de que
uno de los lados de la parcela es común a una cerca ya
existente y sólo es necesario cercar tres lados.
10. (Diseño de un folleto impreso) Un folleto impreso debe
contener 48 pulgadas cuadradas de espacio impreso con
márgenes de 3 pulgadas en la parte superior e inferior,
y márgenes laterales de 1 pulgada. ¿Qué dimensiones del
folleto consumirán la mínima cantidad de papel
11. (Diseño de una cisterna) Se construirá una cisterna con
capacidad de 324 pies cúbicos de agua. Deberá tener una
base cuadrada con cuatro lados verticales, todos fabricados
con concreto, y una tapa superior de acero. Si la unidad de
área de acero cuesta el doble que la correspondiente al concreto,
determine las dimensiones de la cisterna que minimizan
el costo total de construcción.
12. (Diseño de una cisterna) Repita el ejercicio 11 si la forma
de la cisterna es un cilindro con base y tapas circulares.
13. (Costo promedio mínimo) El costo promedio de fabricar
cierto artículo es
C 5 4 8
3x 2
x
en donde x es el número de artículos producidos. Encuentre
el valor mínimo de C.
14. (Modelo de control de inventarios) El costo de la producción
anual de un artículo es
C 5000 80,00 0,000 x
x 2 0
en donde x es el tamaño promedio del lote por serie de producción.
Encuentre el valor de x que hace mínimo a C.
15. (Costo promedio mínimo) El costo de producir x artículos
de cierto producto es
C(x) 4000 3x 10 3 x 2 (dólares)
Determine el valor de x que hace del costo promedio por
artículo un mínimo.
16. (Costo promedio mínimo) Repita el ejercicio 15 en el caso
de la función de costo C(x) 16,000 3x 10 6 x 3 (dólares).
17. (Costo marginal y costo promedio mínimos) La función de
costo para una empresa, está dada por
C(x) 300x 10x 2 x 3 /3
Calcule la producción x en la cual
a) el costo marginal es mínimo.
b) el costo promedio es mínimo.
SECCIÓN 13-5 APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 567