Matemáticas aplicadas

Es claro por los ejemplos de esta sección que el procedimiento de reducción por renglones
esbozado en la sección 8-3 no es lo bastante general para cubrir todos los casos.
No siempre podemos reducir la matriz aumentada a la forma IC. Más generalmente,
podemos reducirla a una forma que posea las siguientes propiedades:
1. El primer elemento distinto de cero en cada renglón es 1.
2. En la columna en que un primer 1 aparece, todos los demás elementos son 0.
3. El primer elemento distinto de cero en cualquier renglón está a la derecha del
primer elemento distinto de cero de cada renglón anterior.
4. Cualesquiera renglones que consten por completo de ceros están por debajo
de los renglones que tienen elementos distintos de cero.
☛ 19. En la prueba de unicidad,
la posibilidad que k n no está
incluida. ¿Puede ver por qué esto
nunca puede suceder
(Sugerencia: Vea la propiedad 3
de la forma reducida).
☛ 20. ¿Los sistemas siguientes
son consistentes Si es así, ¿la
solución es única
a) x 2y 4, y 1 2 x 2
b) x 4y 3z 4,
x 2y z 2, y z 1
c) 2x y 3z 4w 4,
x z 2w 0,
x 2y 2w 3,
2x y 2z 4w 1
La matriz aumentada de cualquier sistema lineal puede reducirse por medio
de las operaciones entre renglones a una forma que satisfaga estas condiciones. (El
número de ecuaciones puede ser mayor o menor que el número de variables). Con
la forma reducida final, es fácil examinar la consistencia y unicidad de la solución.
PRUEBA DE CONSISTENCIA Si la forma reducida final contiene un renglón en
el cual sólo la última entrada es distinta de cero, entonces el sistema es inconsistente.
De otra manera, es consistente.
PRUEBA DE UNICIDAD Supongamos que el sistema es consistente. En la forma
reducida final, sea k el número de renglones en los cuales hay entradas distintas de
cero (k se llama el rango por renglón de la matriz de coeficientes A). Sea n el número
de variables. Entonces:
Si k n el sistema tiene sólo una solución.
Si k n el sistema tiene un número infinito de soluciones. ☛ 19, 20
Estas pruebas son muy fáciles de aplicar una vez obtenida la forma reducida.
Si en un sistema el número de ecuaciones es menor que el número de variables,
el sistema siempre tendrá más de una solución, con tal de que no sea inconsistente.
Usaremos el método de los ejemplos 1 y 2 anteriores, y trataremos de obtener
una matriz identidad en las columnas correspondientes a algunas de las variables.
Esto nos da la solución de las variables correspondientes en términos de las otras. El
ejemplo 4 ilustra lo anterior.
Respuesta a) Inconsistente;
b) consistente, un número infinito
de soluciones; c) consistente, un
número infinito de soluciones.
EJEMPLO 4 Resuelva el sistema siguiente:
3x 2y 4z 3w 2
3x 3y 3z 2w 12
346 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES