Matemáticas aplicadas

19. (Inversiones) Una inversión de p dólares en las cuatro inversiones
A, B, C y D da como resultado un rendimiento
de p, 1.2p, 1.3p y 1.5p dólares, respectivamente.
Una persona desea invertir $12,000 en estas cuatro inversiones.
¿Cuánto deberá invertir en cada una de ellas para
maximizar el rendimiento anual
20. (Publicidad óptima) Si una empresa gasta x miles de dólares
en publicidad en la ciudad A, sus ventas potenciales (en
miles de dólares) en tal ciudad están dadas por 300x/(x
10). Si gasta x miles de dólares en la ciudad B, sus ventas
potenciales (en miles de dólares) en tal ciudad están dadas
por 500x/(x 13.5). Si la utilidad es del 25% de las ventas
y la empresa dispone de una restricción del presupuesto
de $16,500 destinados a publicidad en las dos ciudades,
¿cuánto deberá gastar en cada ciudad con el objetivo de
maximizar la utilidad neta de la empresa
21. (Física) Se tienen que construir tres esferas con materiales
en densidades 1, 2 y 3 gramos por centímetro cúbico, de
modo que su peso total sea 10 gramos. Encuentre los radios
de las esferas para las cuales la suma de sus tres áreas
superficiales sea mínima.
17-6 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
A lo largo de este libro, hemos presentado fórmulas para conceptos tales como la
relación de demanda de un producto particular, el costo de fabricar x cantidad de un
artículo, el volumen de ventas como una función del gasto en publicidad, funciones
de producción, etc. Al escribir un libro de texto, se está en la afortunada posición de
inventar nuestros propios ejemplos de estas funciones. Sin embargo, en situaciones
reales, una empresa no puede inventar su propia función de costo, por ejemplo, si en
vez de ello debe determinar esta función a partir de observaciones de sus operaciones.
En estas situaciones prácticas, por lo regular no disponemos de una fórmula
matemática que exprese la relación en cuestión; lo que tenemos son ciertos datos
recabados de mediciones realizadas en el pasado. Algunas veces éstos aparecen en
el curso de las operaciones normales de la empresa y en otras ocasiones surgen como
resultado de experimentación deliberada. Por ejemplo, con el objetivo de probar
la efectividad de la publicidad, una compañía podría realizar pruebas comparativas
en varias ciudades, cambiando el gasto en publicidad de una ciudad a otra.
Los datos medidos pueden graficarse como una serie de puntos en una gráfica.
Para obtener una aproximación a la gráfica completa de la relación, se bosqueja
una curva suave que pase tan cerca como sea posible a estos datos puntuales. Por lo regular,
la curva que dibujamos no pasará por cada uno de estos datos puntuales, porque
de hacerlo así esto afectaría su suavidad. De hecho, a menudo aproximamos la
relación dibujando la gráfica como una línea recta que pase tan cerca como sea posible
de los puntos graficados. Consideremos el siguiente ejemplo.
Suponga que la administración de la Compañía Hulera del Pacífico afronta el
problema de predecir sus ventas de neumáticos en los años venideros. Por experiencia
saben que las ventas de neumáticos se incrementan de acuerdo con el número de
automóviles en circulación. La empresa dispone de los datos de la tabla 1 recogidos
en el pasado. Si graficamos el número de automóviles en el eje x y las ventas de neumáticos
en el eje y, obtenemos el conjunto de puntos que se observa en la figura 16.
Mirando con atención estos puntos, es razonable concluir que la relación entre
x y y es casi lineal y, basándonos en esto, podemos trazar la línea recta más cercana
al conjunto de puntos. (Véase la figura 17). A pesar de que no todos los puntos
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