Matemáticas aplicadas

1
y
*22. dx
*24. x ln x(1 ln x)
dy
(2y2 1)(3y 2 2)
x
*23.
dx
(x2 1)(2x 2 3)
ln x
x(3 2 ln x)
*25. dx *26. x 5 e x2 dx
15-4 INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de integración por partes puede utilizarse a menudo con el propósito de
evaluar una integral, cuyo integrando consista de un producto de funciones. Es análogo
a la fórmula del producto del cálculo diferencial y en realidad se deduce de ella.
Del cálculo diferencial, sabemos que
o bien,
d
[u(x)(x)] u′(x)(x) u(x)′(x)
d x
d
u(x)′(x) [u(x)(x)] u′(x)(x)
d x
Integrando ambos lados con respecto a x, obtenemos
u(x)′(x) dx u(x)(x) u′(x)(x) dx (1)
Esta ecuación por lo regular se escribe en la forma
u d u du
después de introducir las diferenciales du u′(x) dx y d ′(x) dx. Una manera
alternativa de escribirla es como sigue.
Sea u(x) f(x) y ′(x) g(x). Se sigue que podemos escribir (x) G(x),
en donde G(x) denota la integral de g(x) y, entonces, la ecuación (1) se transforma en
f(x)g(x) dx f(x)G(x) f′(x)G(x) dx
Esta fórmula expresa la integral del producto f(x)g(x) en términos de la integral
del producto f′(x)G(x). Es útil porque en muchos casos la integral de f′(x)G(x)
es más fácil de evaluar que la integral del producto original f(x)g(x). El siguiente
ejemplo ilustra lo anterior.
EJEMPLO 1 Evalúe xe 2x dx
640 CAPÍTULO 15 INTEGRACIÓN