Matemáticas aplicadas

La tapa cuesta (r 2 )(300) dólares. Por consiguiente, el costo total C (en dólares) es
C (2rx r 2 )(100) (r 2 )(300) 200rx 400r 2
Pero por la ecuación (1), x 100/r 2 , de modo que sustituyendo x encontramos que
C 20, 000
400r 2
r
Con el objetivo de encontrar el valor mínimo de C hacemos dC/dr 0 y despejamos r.
Por tanto, r 3 25/ 2.00
d C
20, 000
800r 0
dr
r2
800r 20, 000
r2
El valor correspondiente de x es
r 3 20 , 0
80
00
2 5
x 1 00
100
7.96
r2
( 2.00) 2
Por tanto, las dimensiones que corresponden a la construcción más barata son
un radio de 2 pies y una profundidad de 7.96 pies. Sin embargo, no teníamos permitido
un valor de x que excediera los 6 pies. De modo que si bien el valor x 7.96
da el costo mínimo de C, no ofrece la solución al problema tal como se planteó.
Calculemos el intervalo de valores permisibles de r. El mayor valor de r está
dado como 4. El más pequeño ocurre cuando la profundidad es la mayor, esto es,
cuando x 6. En ese caso, r 2 100/x 100/6, así
r 100/6 2.30
Por lo que r está restringida al intervalo 2.30 r 4
Dentro de este intervalo, C no tiene puntos críticos, así que sólo necesitamos
evaluarla en los puntos finales del intervalo:
☛ 24. Vuelva a resolver el
ejemplo 2, si el costo de la tapa
es $100 por pie cuadrado.
C(2.30) 20 , 000
400 (2.30) 2 15,300
2.
30
C(4) 20, 000
400(4) 2 25,100
4
Respuesta r 2.515, x 5.031
Por tanto, el valor mínimo absoluto de C es $15,300 y ocurre cuando r 2.30 (esto
es, cuando x 6). La gráfica de C como una función de r se muestra en la figura
30. ☛ 24
SECCIÓN 13-6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS 573