Matemáticas aplicadas

Para la segunda, i 0.0305 y k 4, de modo que
i ef
(1 i) k 1 (1.0305) 4 1 0.127696
La segunda tiene una mayor tasa efectiva, por lo que es la mejor de las dos.
Problemas de crecimiento poblacional
La fórmula de interés compuesto se aplica a cualquier cantidad que crece de acuerdo
con un porcentaje regular cada año. Por ejemplo, una población de tamaño inicial
P 0
que crece a un R por ciento anual tendrá, después de n años, un tamaño de
P 0
(1 i) n , en donde i R/100.
EJEMPLO 5 (Crecimiento de la población) La población del planeta al inicio de
1976 era de 4 mil millones y ha crecido a un 2% anual. ¿Cuál será la estimación
de la población en el año 2000, suponiendo que la tasa de crecimiento no se modifica
Solución Cuando una población crece al 2% anual, esto significa que su tamaño
en cualquier instante es 1.02 veces lo que fue un año antes. Así, al inicio de 1977,
la población era (1.02) 4 mil millones. Más aún, al inicio de 1978, era (1.02) veces
la población al iniciar el año de 1977, esto es, (1.02) 2 4 mil millones. Continuamos
encontrando la población en una forma similar, multiplicando por un factor
de 1.02 por cada año que pasa. La estimación de la población al inicio del año 2000,
es decir, después de 24 años, será de
(1.02) 24 4 mil millones 1.608 4 mil millones 6.43 mil millones
EJEMPLO 6 (Crecimiento del PNB) La población de cierta nación en desarrollo
crece al 3% anual. ¿Cuánto debe incrementarse por año el producto nacional bruto,
si el ingreso per cápita debe duplicarse en 20 años
Solución Denotemos a la población actual por P 0
. Por tanto, dado que la población
se incrementa por un factor de (1.03) cada año, el tamaño de la población después
de n años será
P P 0
(1.03) n
Sea I 0
el producto nacional bruto (PNB). El ingreso per cápita actual se obtiene dividiendo
esta cantidad I 0
entre el tamaño de la población, de modo que es igual a
I 0
/P 0
.
Si el PNB se incrementa a un R por ciento anual, cambiará por un factor de
1 i por cada año, en donde i R/100. Por tanto, después de n años, el PNB está
dado por
I I 0
(1 i) n
El ingreso per cápita después de n años es, por tanto,
I I
(
0
i)
n
I
0
P P01
(1.03)
n P
0
1 i n
1. 03
SECCIÓN 6-1 INTERÉS COMPUESTO Y TEMAS RELACIONADOS 223