Matemáticas aplicadas

Para determinar C utilizamos la condición inicial. Haciendo y 2 y x 0 en la
solución general, tenemos
e
2 0 1
1 Ce 0 1 C
de la cual se sigue que C 1 .
2
Sustituyendo esto en la solución general,
y e x
1
1
2
e x
que proporciona la solución particular para las condiciones iniciales dadas.
EJEMPLO 2 (Función de demanda) Si la elasticidad de la demanda para cierto
bien es 1 2 para todos los valores de su precio unitario, determine la relación de
demanda.
Solución Sea x el número de unidades demandadas al precio p. Sabemos que la
elasticidad de la demanda está dada por medio de la fórmula
p dx
x dp
(Véase la sección 14-3). Como 1 2
tenemos que la ecuación diferencial
p
x
dx
dp
1 2 o dx
dp
x 2p
Separando las variables,
2 x dx 1 p dp
e integrando ambos miembros,
2 x dx 1 dp
p
o 2 ln x ln p C
en donde C es la constante de integración. Entonces, combinando los logaritmos tenemos
ln (px 2 ) C. Podemos escribir esto en forma exponencial como
px 2 D
donde D e C . Nuevamente D es una constante arbitraria que no puede determinarse
sin información adicional. Ésta es la relación de demanda requerida.
Ecuación diferencial logística
La ecuación diferencial
en donde p y m son constantes, se denomina ecuación logística. Su importancia
provino originalmente por ser un modelo de crecimiento poblacional en un ambiendy
dt
py(m y) (1)
700 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA