Matemáticas aplicadas

tamaño de la población después de t minutos utilizando la
fórmula y a 2 bt y determine las constantes a y b. ¿A los
cuántos minutos habrá 10,000 bacterias
41. (Magnitudes estelares) La magnitud M de una estrella o
planeta está definida por M ( 5 2 ) log (B/B o
) donde B es
la brillantez y B o
es una constante. El planeta Venus tiene
una magnitud promedio de 3.9 y la estrella Polar, de 2.1.
En promedio, ¿cuántas veces es Venus más brillante que la
estrella Polar
42. (Escala de Richter) La magnitud R de un terremoto está
definida como R log (A/A o
) en la escala de Richter,
donde A es la intensidad y A o
es una constante. (A es la amplitud
de la vibración de un sismógrafo estándar localizado
a 100 kilómetros del epicentro del terremoto). El terremoto
de 1964 en Alaska midió 8.5 en la escala de Richter. El
mayor terremoto registrado midió 8.9. ¿Cuánto más intenso
fue este terremoto que el de Alaska
43. (Escala de decibeles) El volumen L de un sonido está definido
en decibeles como L 10 log (I/I o
) donde I es la intensidad
del sonido (la energía cayendo en una unidad de
área por segundo) e I o
es la intensidad de sonido más baja
que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo).
Una habitación tranquila tiene un nivel sonoro promedio
de 35 decibeles. Una conversación en voz alta tiene un ruido
de fondo de 65 decibeles. El umbral de dolor ocurre
aproximadamente a 140 decibeles. Calcule I/I o
para cada
uno de estos tres niveles de sonido.
44. (Crecimiento de una población) Cierta población de insectos
consiste en dos tipos: T 1
y T 2
. Al principo la población
era de 90 insectos T 1
y 10 insectos T 2
. La población T 1
crece en promedio 1% diario, y la T 2
, 4%. ¿Cuándo estará
la población dividida en partes iguales entre los dos tipos
45. (Crecimiento de una población) Una población de bacterias
duplica su tamaño cada 19 minutos. ¿Cuánto tiempo
tardará en incrementarse el número de organismos, de 10 5
a 10 7
46. (Radioterapia) Cuando se someten a tratamiento de radiación
las células cancerosas, la proporción de células sobrevivientes
al tratamiento está dado por
P e kr
donde r es el nivel de radiación y k una constante. Se ha encontrado
que 40% de las células cancerosas sobreviven
cuando r 500 Roentgen. ¿Cuál debe ser el nivel de radiación
para que sólo sobreviva el 1%
47. (Ley de enfriamiento de Newton) Un cuerpo, a una temperatura
T por encima a la del medio que lo rodea, se enfría
de acuerdo con la fórmula T T 0
e kt , en donde T 0
es la diferencia
inicial de temperaturas, t es el tiempo y k es una
constante. Se encontró que la diferencia de temperaturas
descendió a la mitad del valor inicial en 20 minutos. Si al
inicio, T 0
60°C, ¿cuánto tiempo pasará para que la diferencia
de temperaturas disminuya a 10°C
48. (Crecimiento de ventas) Un producto nuevo fue introducido
en el mercado en t 0, y a partir de ese momento sus
ventas mensuales crecieron de acuerdo con la fórmula
S 4000(1 e -kt ) 3
Si S 2000 cuando t 10 (esto es, después de 10 meses),
determine el valor de k.
49. (Curva de aprendizaje) La eficiencia de un individuo para
realizar una tarea rutinaria mejora con la práctica. Sea t el
tiempo que empleó en el aprendizaje de la tarea y y una
medida del rendimiento del individuo. (Por ejemplo, y podría
ser el número de veces, por hora, que la tarea puede
realizarse). Entonces una función que con frecuencia se
utiliza para relacionar y con t es
y A(1 e kt )
donde A y k son constantes. (La gráfica de tal relación entre
y y t se denomina curva de aprendizaje). Después de
una hora de práctica, una persona, en una línea de ensamblado
puede apretar 10 tuercas en 5 minutos. Después de 2
horas, la persona puede apretar 15 tuercas en 5 minutos.
Determine las constantes A y k. ¿Cuántas tuercas puede
apretar la persona después de 4 horas de práctica
50. (Modelo logístico) Una población crece de acuerdo con
el modelo logístico, con constantes y m
( 12 4
3
) 107,
C 24 5
3 y k ln ( 3 5
4
). Determine el tamaño de la población
cuando t 0, 1 y 2.
51. (Modelo logístico) El peso de un cultivo de bacterias está
dado por
y
2
1 3(2
t
)
en donde t se mide en horas. ¿Cuál es el peso cuando t 0,
1, 2 y 4
52. (Difusión de información) Se desarrolló una nueva variedad
mejorada de arroz. Se determinó que después de t
años, la proporción de agricultores de arroz quienes han
cambiado a la nueva variedad está dada por medio de un
modelo logístico
p (1 Ce kt ) 1
SECCIÓN 6-4 APLICACIONES Y PROPIEDADES ADICIONALES DE LOS LOGARITMOS 259