Matemáticas aplicadas

☛ 6. Suponga que $1 se invierte
a una tasa nominal de 100%,
compuesto k veces por año. ¿Cuál
es el valor después de un año
Compare los valores con cuatro
decimales cuando k 365
(composición diaria).
Ahora supongamos que la inversión de $100 se compone semestralmente y
que la tasa nominal de interés se mantiene en 8% anual. Esto significa que la tasa
de interés semestral es de 4%. Entonces, cada medio año, el valor de la inversión
crece por un factor de 1.04. En un periodo de N años hay 2N de tales composiciones
semestrales; así después de N años la inversión tiene un valor de $100(1.04) 2N .
Por ejemplo, 4 años después el valor es $100(1.04) 8 $136.86.
Ahora considere la posibilidad de que la inversión se componga cada 3 meses,
otra vez con la tasa nominal de interés anual de 8%. Entonces, la tasa de interés
trimestral es igual a 8 4 o 2%. Cada trimestre el valor aumenta por un factor de
1.02, de modo que cada año se incrementa por un factor de (1.02) 4 . En un periodo
de N años, el valor aumenta a $100(1.02) 4N . Por ejemplo, después de 4 años el valor
es $100(1.02) 16 $137.28.
Podemos continuar de esta manera: dividimos el año en k periodos iguales y
componemos el interés al final de cada uno de estos periodos a una tasa nominal de
interés anual de 8%. Esto significa que la tasa de interés para cada periodo es de 8/k
por ciento y la inversión aumenta en valor por un factor de 1 0.08/k para cada
uno de estos pequeños periodos. Durante N años hay kN de tales periodos de composición,
de modo que el valor después de N años está dado por la fórmula 100(1
0.08/k) kN dólares. Por ejemplo, después de 4 años el valor es
100 1 0. 08
k
4k
dólares ☛ 6 (1)
TABLA 1
k
Valor después
de 4 años
1 $136.05
2 $136.86
4 $137.28
12 $137.57
52 $137.68
365 $137.71
1000 $137.71
La tabla 1 muestra estos valores para diferentes valores de k. Primero damos k 1,
2 y 4 y después k 12, 52 y 365, que corresponden respectivamente a composición
mensual, semanal y diaria. Por último, por comparación damos para k 1000. Puede
verse que conforme la frecuencia de composición se incrementa, el valor de la
inversión también aumenta; sin embargo, no aumenta de manera indefinida, sino
que se hace cada vez más cercana a cierto valor. Al centavo más próximo, no hay
diferencia entre componerlo 365 veces en un año y componerlo 1000 veces en un
año; el valor de la inversión después de 4 años aún será $137.71.
A consecuencia de eso, podemos prever la posibilidad de lo que se denomina
composición continua. Con esto queremos decir que el número k se le permite volverse
arbitrariamente grande; decimos que k se le permite tender a infinito y escribimos
esto como k → q. Esto corresponde a componer el interés un número infinito
de veces durante el año. Con nuestros $100 invertidos a la tasa nominal de 8%
anual, la composición continua da un valor de $137.71 después de 4 años, el mismo
valor que a una composición diaria.
Escribamos k 0.08p en la expresión (1), lo cual da el valor de la inversión
después de 4 años. Entonces, 4k 0.32p y el valor después de 4 años toma la
forma
Respuesta Valor (1 1 k )k
2.7146 cuando k 365
100 1 0. 08
k
4k
100 1 1 p 0.32p 100 1 1 p 0.32
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