Matemáticas aplicadas

☛ 11. Utilice su calculadora
con x 0.001 o 0.0001 para
encontrar los valores aproximados
del límite en la ecuación (1)
cuando a 2, cuando a 2.5
y cuando a 3
tenemos que
f(0 x) f(0) f(x) f(0) a
f(0) lím
lím
lím
x a
0
x→0
x→0 x
x→0 x
Ya que a 0 1, la condición f(0) 1 se reduce a
a
lím
x 1
1 (1)
x→0 x
Esta condición determinará el valor de a para nosotros. Resulta que el valor
de a que satisface esta condición es a e 2.71828..., la base de las funciones
exponencial y logaritmo naturales que se presentaron en el capítulo 6. La demostración
de esta afirmación está más allá del alcance del libro; sin embargo, la tabla 1
nos convence bastante de su validez. Sabemos que e 2.7183 hasta cuatro cifras
decimales, y en la tabla calculamos los valores de la cantidad [(2.7183) x 1]/x
para una serie de valores de x empezando con x 1 y decreciendo hasta x
0.0001. Es claro que, a medida que x se hace más pequeño, la cantidad en cuestión
está cada vez más cerca de 1. Por consiguiente, la ecuación (1) es casi exacta
tomando a 2.7183. Un cálculo más exacto demostraría que la cantidad
[(2.7183) x 1]/x, en realidad se aproxima al valor límite 1.00000668 (hasta
ocho cifras decimales) cuando x → 0. ☛ 11
En vez de tomar a 2.7183, pudimos considerar aun una mejor aproximación
del número irracional e (por ejemplo, a 2.718282, que es correcto hasta siete
cifras decimales). Así pues, al construir una tabla similar a la anterior, podríamos
convencernos que el valor límite de (a x 1)/x cuando x → 0 está aún más cerca
de 1. (De hecho, con a 2.718282, este valor límite es igual a 1.0000000631
hasta diez cifras decimales). Por ello podemos estar seguros de que la condición (1)
se cumple eligiendo como base de la expresión exponencial a e.
Calculemos ahora la derivada de la función e x para cualquier x. Haciendo y
e x , tenemos
dy
e
lím
xx e
x
dx x→0 x
x
x
TABLA 1
(2.7183) x 1
x
1 1.7183
0.1 1.0517
0.01 1.0050
0.001 1.0005
0.0001 1.000057
Respuesta 0.693, 0.916 y 1.099
512 CAPÍTULO 12 CÁLCULO DE DERIVADAS