Matemáticas aplicadas

Una aplicación importante de los determinantes es a la solución de sistemas
de ecuaciones lineales, en las cuales el número de ecuaciones es igual al número de
incógnitas. De hecho, el concepto de determinante se originó en el estudio de tales
sistemas de ecuaciones. El resultado principal, conocido como regla de Cramer, se
establece en el teorema 2 para sistemas de tres ecuaciones. El teorema se generaliza
en una forma natural a sistemas de n ecuaciones con n incógnitas.
TEOREMA 2 (REGLA DE CRAMER) Considere el siguiente sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas x, y y z.
a 1
x b 1
y c 1
z k 1
a 2
x b 2
y c 2
z k 2
a 3
x b 3
y c 3
z k 3
Sea
a 1
b 1
c 1
a 2
b 2
c 2
a 3
b 3
c 3
el determinante de los coeficientes, y sean 1
, 2
y 3
obtenidos reemplazando la
primera, segunda y tercera columna de , respectivamente, por los términos constantes.
En otras palabras,
k 1
b 1
c 1
a 1
k 1
c 1
a 1
b 1
k 1
1
, 2
y
3
k b c a k c a b k 2 2 2
2 2 2
2 2 2
k 3
b 3
c 3
a 3
k 3
c 3
a 3
b 3
k 3
Entonces si 0, el sistema dado tiene la solución única dada por
x 1
, y 2
, z 3
Si 0 y 1
2
3
0, entonces el sistema tiene un número infinito de
soluciones. Si 0 y 1
0 o 2
0 o 3
0, entonces el sistema no tiene
ninguna solución.
EJEMPLO 5 Use determinantes para resolver el sistema de ecuaciones siguiente:
2x 3y z 5
x 2y z 7
6x 9y 3z 4
Solución El determinante de coeficientes es
2 3 1
1 2 1
0
6 9 3
como puede comprobarse desarrollándolo por el primer renglón. Reemplazando los
elementos de la primera columna de por los términos constantes, tenemos
SECCIÓN 9-4 DETERMINANTES 385