Matemáticas aplicadas

Determine la tasa de producción x que maximizaría las utilidades
de la empresa. Determine dicha utilidad y la utilido
puede destinar su planta a producir zapatos para caballero
44. (Asignación óptima de producción) Un fabricante de calzadad
cuando x 120.
o para dama. Si produce x y y miles de pares por semana,
respectivamente, se sigue que x y y están relacionados por
35. (Movimiento de un objeto) Un objeto que se lanza directamente
hacia arriba desde el suelo, sigue la trayectoria dada
la ecuación de transformación de producción,
por
2x 2 y 2 25
h 4.9t 2 20t
La utilidad del fabricante es de $10 por cada par de zapatos
para caballero y de $8 por cada par de zapatos para da-
donde h se mide en metros y t en segundos.
ma. Determine cuántos pares de cada uno deberá producir
a) ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en chocar con el suelo a fin de maximizar sus utilidades semanales.
b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el objeto
45. (Impuesto y producción) La demanda y la función de costo
total de un monopolista son p 12 4xyC(x) 8x
36. (Ingreso máximo) Para la ecuación de demanda
x
p
1 8 0
x 2 . Si se grava con un impuesto t por unidad, encuentre:
6
a) La cantidad x y el precio p que corresponden a la utilidad
máxima.
determine el número de unidades, x*, que hace máximo el
ingreso total e indique cuál es el ingreso máximo.
b) La utilidad máxima.
37. (Geometría) Determine el volumen máximo que puede tener
un cilindro circular recto, si está inscrito en una esfera
impuestos del gobierno.
c) El impuesto, t, por unidad que maximiza el ingreso por
de radio r.
46. La función de producción de un bien está dada por Q
38. (Geometría) Determine las dimensiones de un cilindro circular
recto, con mayor área de superficie, que puede inscri-
unidades de materia prima.
40F 3F 2 F 3 /3, donde Q es la producción total y F las
birse en una esfera de radio r.
a) Determine el número de unidades de materia prima que
39. Demuestre que el rectámgulo con perímetro máximo, que
maximizan la producción.
puede inscribirse en un círculo, es un cuadrado.
b) Determine los valores máximos del producto marginal
40. Demuestre que el rectángulo con un perímetro dado, el
dQ/dF.
cuadrado es el de mayor área.
c) Verifique que cuando la producción Q/F es máxima, es
41. Demuestre que el rectángulo con una área dada, el cuadrado
es el de menor perímetro.
igual a la producción marginal.
47. (Tiempo de venta óptimo) Una compañía cría pollos asaderos.
Si los pollos se venden a los t meses, la utilidad de la
42. (Utilidad máxima) Un fabricante de radiorreceptores observa
que pueden venderse x aparatos por semana a p dólares venta de cada pollo es P(t) 0.2e 0.06t dólares. El valor
cada uno, en donde 5x 375 3p. El costo de producción presente de esta utilidad es P(t)e 0.01t , si la tasa de descuento
nominal es 1% mensual. ¿A los cuántos meses deben
1
es (500 13x x 2 dólares. Determine el nivel de producción
que máximiza la utilidad.
5 venderse los pollos para maximizar ese valor presente
48. (Retención de memoria) Un estudiante adquiere gran número
de conocimientos durante el repaso para un examen.
43. (Tamaño de lote económico) Sea Q la cantidad que minimiza
el costo total T debido a la obtención y almacenamiento
del material por cierto periodo. El material deman-
esos conocimientos que el estudiante es capaz de recordar
Al cabo de t semanas después del examen, el porcentaje de
dado es de 10,000 unidades por año; el precio al costo del está dado por
material es de $1 por unidad; el costo de volver a llenar la
180 20e 0.5t
existencia de material por orden, sin importar el tamaño Q
p(t) 1 e
0.5t
de la orden, es de $25 y el costo de almacenar el material
Q Calcule p(0), p(2) y lím p(t). Pruebe que p′(t) 0 y que
es del 12.5% del valor promedio de las existencias, 2 .
t→∞
p″(t) 0 para toda t 0 y dibuje la gráfica de p(t)
250, 000 Q
a) Pruebe que T 10, 000 49. (Modelo de aprendizaje) Cuando una tarea de repetición
Q 16
(por ejemplo soldar un circuito) se realiza cierto número de
b) Determine el tamaño del lote económico y el costo total
T correspondiente a tal valor de Q.
modelo usado algunas veces para esta probabilidad de éxi-
veces, la probabilidad de hacerlo correctamente crece. Un
c) Determine el costo total cuando cada orden se fija en
AN
tos es p donde A y B son constantes y N es el
2500 unidades.
N B
PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 13 589