Matemáticas aplicadas

z
y
x 2 y 2 4 (c 0)
x 2 y 2 15 4
(0, 0, 2)
0 x
(c 1 2 )
c 3 2
c 1
c 1 2
c 0
y
(0, 2, 0)
x 2 y 2 0
(c 2)
x 2 y 2 3
(c 1)
x 2 y 2 7 4
(c 3 2 )
(0, 2, 0) (2, 0, 0)
x
FIGURA 4 FIGURA 5
sando z como una función de x, y esta función puede graficarse en el plano xz. Dando
a c valores diferentes, se pueden dibujar varias gráficas.
Ahora, y c es la ecuación de un plano vertical, paralelo al plano xz, que corta
al eje y en (0, c, 0). Así la gráfica de z f(x, c) es la curva a lo largo de la cual
este plano vertical interseca la gráfica de f.
De manera análoga, haciendo x c obtenemos z f(c, y), cuya gráfica en el
plano yz es la curva de intersección de la gráfica de f con un plano vertical paralelo
al plano yz.
EJEMPLO 8 Dibuje secciones verticales de la gráfica z x 2 y 2 correspondiente
a los planos verticales x 0, 1 y 2 y y 0, 1 y 2.
Solución Consideremos primero la sección en que x c, c una constante. Ésta es
la sección definida por el plano vertical que es paralelo al plano yz y a una distancia
c de él. Sustituyendo x c en la función dada z x 2 y 2 , obtenemos z c 2
y 2 . Esta ecuación en términos de y y z describe una parábola, que se abre hacia abajo,
con vértice en el punto y 0 y z c 2 . Por ejemplo, si c 1, el vértice de la
parábola está en el punto (y, z) (0, 1). Las parábolas que corresponden a los valores
c 0, 1, 2, dibujadas en el plano yz, aparecen en la figura 6.
Consideremos la sección en que y c, c una constante, que es la sección definida
por el plano vertical que es paralela al plano xz y está a una distancia c de él.
Sustituyendo y c en la ecuación dada, obtenemos z x 2 c 2 . Esta ecuación en
términos de x y z representa una parábola con vértice x 0 y z c 2 ; esta parábola
se abre hacia arriba. Las parábolas correspondientes a c 0, 1, 2 aparecen
en la figura 7.
726 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES