Matemáticas aplicadas

Demostración de las propiedades básicas de los logaritmos
1. Sean x log a
u y y log a
. Entonces, de la definición de logaritmo,
Por lo que se sigue que
u a x y a y
u (a x )(a y ) a x+y
después de utilizar una de las propiedades fundamentales de los exponentes. En
consecuencia, de la definición de logaritmo, se concluye que x y debe ser el
logaritmo en base a de u :
x y log a
(u)
En otras palabras, al sustituir x y y tenemos la fórmula requerida
log a
(u) log a
u log a
2. El segundo resultado puede obtenerse considerando u/.
x
u a ay a x a y a xy
Así x y log a
(u/), o de manera equivalente, log a
(u/) log a
u log a
.
3. Utilizamos la propiedad 2 y hacemos u 1. Cuando u 1, log a
u 0, y obtenemos
log a 1 log a
4. Cuarta, sea x log a
u, por lo que u a x . Entonces, u n (a x ) n a xn . Así xn
log a
(u n ), o bien,
log a
u n n log a
u
EJERCICIOS 6-3
(1-6) Verifique las siguientes proposiciones y reescríbalas en
forma logarítmica con una base apropiada.
l. (27) 4/3 1
8 1
2. (16) 3/4 8
3. (125) 2/3 25 4. 8 5/3 1
3 2
5. ( 2
8
7
) 1/3 3 2 6. ( 6 25
16
) 3/4 8
1
(7-10) Escriba las siguientes igualdades en forma exponencial
y verifíquelas.
7. log 3
27 3
1
8. log 1/9
( 2 43 ) 5 2
9. log 4
( 1 2 ) 1 2 10. log 2
( 1 4 ) 2
25
(11-22) Calcule los valores de las siguientes expresiones usando
la definición de logaritmo.
11. log 2
512 12. log 27
243
13. log 2 16 14. log 8
128
15. log 2
0.125 16. log a
32 log a
4
17. 10 log 100 18. 10 log 2
19. log 4
(2 p ) 20. log 2
(4 p )
21. 2 log 1/2 3 22. 3 log 9 2
246 CAPÍTULO 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES