Matemáticas aplicadas

Al usar esta técnica, derivamos cada término en la relación implícita dada
con respecto a la variable independiente. Esto requiere derivar expresiones que contienen
a y con respecto a x, y con el objetivo de hacerlo, utilizamos la regla de la cadena.
Por ejemplo, supongamos que deseamos derivar y 3 o ln y con respecto a x. Escribimos
lo siguiente:
d
dx
(y 3 d
) (y 3 dy
) 3y 2
dy dx
dy
dx
d
dx
d dy
(ln y) (ln y) 1 y
dy dx
dy
dx
☛ 7. Encuentre
d
b) (e y ) d x
d
a) (y) d x
d
c) (x 4 ) d y
En general,
d
dx
dy
(f(y)) f′(y) ☛ 7 dx
Respuesta a)
1 dy
2y dx
dy
b) e y c)4x dx 3 dx dy
EJEMPLO 1 Calcule dy/dx si x 2 y 2 4
Solución Derive cada término con respecto a x.
d
dx
(x 2 ) 2x
d
dx
(y 2 d
) (y 2 dy dy d
) 2y , dx (4) 0
dy dx dx
Ponemos juntos todos los resultados y despejamos dy/dx
dy
dy
dy 2x x
2x 2y 0, 2y 2x, y
dx
dx
dx 2y
Comprobación Verificamos este resultado usando una de las funciones explícitas
asociada con la relación implícita x 2 y 2 4, es decir*
y 4 x 2 (4 x 2 ) 1/2
☛ 8. Tome la otra función
explícita asociada con x 2 y 2 4,
es decir, y 4 x 2 ,y
verifique que aún es cierto que
d y
x
dx
y
Usando la regla de la cadena,
dy
dx
1
x x
(4 x 2 ) 1/21 (2x) 2
4 x2 y
que es el mismo resultado que se obtuvo en el ejemplo 1 ☛ 8
EJEMPLO 2 Calcule dy/dx si xy ln (xy 2 ) 7
Solución En primer término simplificamos el logaritmo: ln (xy 2 ) ln x 2 ln y.
Luego, la relación adopta la forma
xy ln x 2 ln y 7
*Recordemos que a o a 1/ 2 denota la raíz cuadrada positiva de a. (Véase la página 24).
SECCIÓN 14-2 DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA 601