Matemáticas aplicadas

La idea de elasticidad puede aplicarse a cualquier par de variables que estén
relacionadas funcionalmente. Si y f(x), la elasticidad de y con respecto a x se define
como
(otra vez se denota por ). Es aproximadamente igual a la razón del cambio porcentual
en y al cambio porcentual en x, con tal de que estos cambios sean pequeños. Por
ejemplo, podemos hablar acerca de la elasticidad de la oferta con respecto al precio,
que es el cambio porcentual en el suministro de un artículo dividido entre el cambio
porcentual en su precio (estrictamente, en el límite cuando el incremento en el precio
tiende a cero).
La elasticidad está muy relacionada con las derivadas logarítmicas. La derivada
logarítmica de y con respecto a x es
d
dx
x dy
y dx
(ln y)
La derivada logarítmica de x con respecto a sí misma está dada de manera similar por
1
y
dy
dx
d
dx
(ln x)
1
x
dx
dx
1 x
En consecuencia, se sigue que la elasticidad de y con respecto a x es igual a la derivada
logarítmica de y dividida entre la derivada logarítmica de x:
(d/dx)(ln y)
(d/dx)(ln x)
Regresando a la elasticidad de la demanda, podemos establecer una estrecha
relación entre esta cantidad y el ingreso marginal. La función ingreso marginal está
dada por
R(x) (cantidad vendida) (precio) xp
Consideremos a R como una función del precio unitario p. La derivada dR/dp se
denomina ingreso marginal con respecto al precio y proporciona el incremento en
el ingreso por unidad de aumento en el precio cuando estos incrementos son pequeños.
De R xp, tenemos, por medio de la regla del producto,
dR d
dx
dx
(px) x p x
p
1 x(1 ) (1)
dp dp
dp x dp
Si la demanda es elástica, esto es, < 1, entonces 1 < 0, y de (1) se sigue que
dR/dp < 0. En este caso el ingreso total R es una función decreciente del precio p.
Similarmente, si la demanda es inelástica, esto es, 1 < < 0, entonces 1 > 0
y de (2), dR/dp > 0, de modo que el ingreso R es una función creciente de p. Así,
Si la demanda es elástica, un aumento en el precio causa que el ingreso disminuya.
Si la demanda es inelástica, un aumento en el precio provoca que el ingreso aumente.
Para elasticidad unitaria, un aumento en el precio no causa cambio en el ingreso.
SECCIÓN 14-3 DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA Y ELASTICIDAD 613