Matemáticas aplicadas

En consecuencia,
Si x 2, el valor de y es
dP
dx
d
10 10 dx (25 2x 2 ) 1/2
10 10[2x(25 2x 2 ) 1/2 ]
10 20x(25 2x 2 ) 1/2
y 25 2x 2 25 2(4) 17 4.1
Por tanto, la empresa está produciendo 2000 pares de zapatos para caballero y 4100
pares de zapatos para dama por semana. Su utilidad semanal es
(o $61,000). La utilidad marginal es
P 10(x y) 10(2 4.1) 61
dP
40
10 20(2)[25 2(4)] 1/2 10 0.30
dx
17
Así que un incremento de x miles de pares de zapatos para caballero produce un
incremento aproximado de (0.30) x miles de dólares en la utilidad.
Tasas relacionadas
Sea y f (x) y supongamos que x varía como una función del tiempo t. Así, dado
que y es una función de x, y también variará con el tiempo. Aplicando la regla de la
cadena, es posible encontrar una expresión para la tasa en que y varía en términos
de la tasa a la cual x varía. Debido a que
dy dy dx dx
f (x) dt dx dt dt
☛ 9. Suponga que y x 2
Encuentre
dy/dt si x 2 y dx/dt 0.5
tenemos una relación directa entre las dos tasas dy/dt y dx/dt. Ésta se denomina la
ecuación de tasas relacionadas. ☛ 9
EJEMPLO 6 (Tasas relacionadas) Una empresa tiene la función de costo C(x)
1
25 2x 2
x 2 , en donde x es el nivel de producción. Si éste es igual a 5 actualmente
y está creciendo a una tasa de 0.7 por año, calcule la tasa en que los costos
0
de producción se están elevando.
Solución Sabemos que dx/dt 0.7 (cuando el tiempo se mide en años). El costo
marginal está dado por
dC x
2 10
dx
Respuesta 0.125
Por consiguiente,
dC
dt
dC dx
x
2 dx
dx
dt
10
dt
508 CAPÍTULO 12 CÁLCULO DE DERIVADAS