Matemáticas aplicadas

Terminamos esta sección deduciendo la fórmula cuadrática para la ecuación
cuadrática ax 2 bx c 0, con a 0. La demostración sigue el método de completar
el cuadrado. Empezamos pasando el término constante a la derecha:
ax 2 bx c
Dividiendo ambos lados entre a (esto es posible dado que a 0),
b c
x 2 x a
(5)
a
De acuerdo con el método de completar cuadrados, debemos dividir el coeficiente
de x (que es b/a) entre 2, (dando b/2a) y el cuadrado del resultado sumarlo a
ambos lados. Así, tenemos las igualdades siguientes:
b
x 2 2
x
b
c
b 2
4ac b
2
a 2a a 2a 4a
2
Pero el primer miembro es (x b/2a) 2 , como puede comprobarse por la fórmula del
cuadrado de un binomio. Por tanto,
x b
2 b
2 4ac
2a 4a
2
Después de extraer raíz cuadrada a ambos lados, encontramos que
Por tanto,
x
b
2a
b
2 4ac
4a
2
x
como se requería.
Una observación final: La cantidad D b 2 4ac se denomina el discriminante.
Si D 0, el término dentro de la raíz cuadrada de la fórmula cuadrática se
hace cero. En este caso, las raíces de la ecuación coinciden, de modo que no hay raíces
distintas. Por ejemplo, una ecuación de este tipo es la ecuación cuadrática
x 2 10x 25 0, la que sólo tiene la raíz x 5.
Si D < 0, la cantidad dentro de la raíz cuadrada es negativa. En este caso, la
ecuación cuadrática ax 2 bx c 0 no tiene raíces que sean números reales. Por
ejemplo, consideremos la ecuación x 2 2x 2 0 (en la cual a 1, b 2 y
c 2). De la fórmula cuadrática, tenemos que
x
b b 2 4ac
2a
b b 2 4ac
2a
(2) (2)
2 4(1)(2)
2(1)
2 4 2
b 2 4ac
2a
SECCIÓN 2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS 79