Matemáticas aplicadas

Solución
a) Tenemos que
Por la regla del cociente tenemos que
P(x) 23 x 15
x 4
(x 4)(23) (23x 15)(1) 77
P(x)
(x 4)
2
(x 4) 2
Como P(x) 0 para toda x 0, P(x) es una función creciente de x, esto es, la utilidad
crece al crecer la cantidad gastada en publicidad.
b) lím P(x) lím 23 x 15 (23x 15)/x
lím
x→q
x→q x 4 x→q (x 4)/x
23 15/x
lím
2 3 0
x→q
1
0
23
1 4/x
Entonces el límite superior de la utilidad es $23 millones. La gráfica de P(x) se
muestra en la figura 33. De la gráfica se sigue, que después de un tiempo, grandes
incrementos en los gastos de publicidad (x) producirán incrementos muy pequeños
en las utilidades. Éste es un ejemplo de lo que se conoce como la ley de disminución
del ingreso.
P
23
3.75
FIGURA 33
x
Si f(x) → L cuando x → q, entonces la gráfica de y f(x) se hace cada vez
más próxima a la recta y L cuando x se mueve hacia la derecha. Decimos que la
recta y L es una asíntota horizontal de la gráfica en q.
Si la gráfica de y f(x) tiene y L como una asíntota horizontal en q, la
gráfica puede estar completamente de un lado de la recta y L, o puede cruzar a
la asíntota cuando x aumenta. Ejemplos comunes se muestran en la figura 34.
De forma similar, si f(x) → L cuando x → q, entonces la gráfica de y
f(x) se hace cada vez más cercana a la recta horizontal y L cuando x se mueve
hacia la izquierda. Esta recta es una asíntota horizontal de la gráfica en –q.
EJEMPLO 4 Bosqueje la gráfica de la función y e x2
SECCIÓN 13-7 ASÍNTOTAS 579