Matemáticas aplicadas

Hoy
Primer
día
Segundo
día
Tercer
día
0.1
U
(0.8) (0.1) (0.1) = 0.008
0.1
U
D
0.8
0.2
U
D
0.9 0.8
0.8
D
U
0.1
0.2 0.8
D
U
D
U
D
U
(0.8) (0.9) (0.8) = 0.576
(0.2) (0.8) (0.1) = 0.016
(0.2) (0.2) (0.8) = 0.032
D
D
0.632
FIGURA 2
☛ 11. Dada la matriz de transición
0.3 0.7
0.5 0.5
encuentre la probabilidad de que el
sistema, iniciando en el estado 1,
estará a) en el estado 1 después de
2 ensayos; b) en el estado 2 después
de 3 ensayos.
tados de alza o baja (esto es, incremento o decremento) por las letras U y D, respectivamente.
Sólo nos interesan las cuatro ramas que terminan en el estado U al cabo
del tercer día. La probabilidad requerida de que la acción irá al alza en el tercer día,
cuando fue a la baja el día de hoy, se obtiene sumando las probabilidades de las cuatro
ramas antes mencionadas y es igual a 0.632. ☛ 11
En el ejemplo 3 calculamos la probabilidad de que la acción vaya al alza al
tercer día. Suponga que deseamos calcular la probabilidad de que la acción vaya
al alza o la baja al décimo día. En este caso, el uso de un diagrama sería muy embarazoso.
En una situación como ésta, el álgebra de matrices evita dibujar un diagrama
de árbol grande.
Consideremos un sistema de n estados posibles, de modo que cada ensayo
tiene n resultados posibles. En cualquier etapa en el futuro no podemos decir en qué
estado se encontrará el sistema, pero podríamos estar en posición de dar las probabilidades
de que se encuentre en cada uno de los estados 1, 2,..., n. (En el ejemplo
3, no podemos decir si la acción irá a la baja o al alza después de 3 días, pero sí podemos
afirmar que la probabilidad de que irá al alza es 0.632 y en consecuencia la
probabilidad de que vaya a la baja es de 1 0.632 0.368). En general, si p 1
,
p 2
,..., p n
son las probabilidades de que el sistema se encuentre en los estados 1,
2,...,n,respectivamente, entonces la matriz renglón 1 n
[p 1
p 2
p n
]
Respuesta a) 0.44 b) 0.588
se conoce como matriz de estado o vector de estado del sistema. Obsérvese que
p 1
p 2
p n
1. Denotaremos a la matriz de estado inicial con A 0
y a la matriz
de estado después de k ensayos (o etapas) por A k
.
Consideremos el ejemplo 3. Cada día el sistema (valores) está en uno de los
dos estados: estado 1 (alza) y estado 2 (baja). En el ejemplo, al principio la acción
SECCIÓN 9-3 CADENAS DE MARKOV (OPCIONAL) 373