Matemáticas aplicadas

TEOREMA 1 (REGLA DE LA CADENA) Si y es una función de u y u es una función
de x, entonces
d y dy
dx
du
du
dx
La regla de la cadena representa la que es probablemente la más útil de todas
las herramientas de diferenciación, como pronto se hará evidente. Es un recurso que
se utiliza con frecuencia al manejar el cálculo diferencial y el lector deberá dominar
su aplicación tan pronto como sea posible. Cuando la usamos al derivar una función
complicada, es necesario reconocer que la función dada se puede escribir como
la composición de dos funciones más simples. Los siguientes ejemplos ilustran
lo anterior.
EJEMPLO 1 Calcule dy/dx cuando y (x 2 1) 5
Solución Podríamos resolver este problema desarrollando (x 2 1) 5 como un polinomio
en x. Sin embargo, es mucho más sencillo utilizar la regla de la cadena.
Observe que y puede expresarse como la composición de dos funciones en la
siguiente forma:
y u 5 donde u x 2 1
☛ 6. Derive las funciones
siguientes. Indique cómo
descompuso cada función
a) y (1 x 2 ) 3
b) y 2x 1
Se sigue que
Por la regla de la cadena, tenemos que
dy
dx
dy
du
5u 4 du
y 2x dx
dy du
5u 4 2x 5(x 2 1) 4 2x 10x(x 2 1) 4 ☛ 6
du dx
Si y f(u), otra manera de escribir la regla de la cadena es
dy
dx
du
f ′(u) dx
Respuesta
a) y u 3 , u 1 x 2 ,
dy
6x(1 x 2 ) 2
dx
b) y u u 1/2 , u 2x 1,
dy 1
dx 2x 1
(dado que f ′(u) dy/du). En particular, si f(u) u n ,f′(u) nu n1 . Así tenemos el
caso siguiente de la regla de la cadena.
Si y [u(x)] n dy
, entonces nu n1 du
dx dx
La composición puede pensarse como tener diferentes capas que deben desprenderse
una por una. La capa exterior de la función corresponde a la parte que debe
calcularse al último al evaluarla. Por ejemplo, si y (x 2 1) 5 , la parte exterior
504 CAPÍTULO 12 CÁLCULO DE DERIVADAS