Matemáticas aplicadas

10-4 MÉTODO SÍMPLEX
El procedimiento usado en el método símplex consiste en continuar efectuando cambios
en las variables básicas del tipo analizado en la última sección, hasta que se obtenga
el conjunto de variables que optimizan la función objetivo. Cada cambio de
variables se realiza de tal manera que mejore el valor de la función objetivo.
Consideremos el método con respecto a un ejemplo particular. Supongamos
que deseamos maximizar Z 2x 3y sujeta a las restricciones x 0, y 0, x
4y 9 y 2x y 4. Como de costumbre, definimos las variables de holgura t y
u por
x 4y t 9, 2x y u 4 (1)
en donde las cuatro variables x, y, t y u son no negativas. La tabla símplex es
x y t u
t 1 4 1 0 9
u
2 1 0 1 4
u 2 3 0 0 Z
.
Observe que ahora agregamos otro renglón a la tabla que contiene los coeficientes
de la función objetivo
2x 3y 0 t 0 u Z
Empezamos con la SBF en la cual x y 0. En el caso de esta solución, t 9
y u 4. La función objetivo tiene el valor cero para esta SBF. Nuestro propósito es
reemplazar una de las variables t o u con x o y en tal forma que Z se incremente. Observando
en el último renglón de la tabla, advertimos que si x se incrementa en 1, Z
se incrementa en 2; mientras que si y se incrementa en 1, Z se incrementa en 3. Esto
es, cualquier incremento en y tiene un efecto mayor en Z que el mismo incremento
en x. Por tanto, parece razonable considerar y como la variable de entrada al
formar la nueva base.
Los elementos del renglón inferior de la tabla se denominan los indicadores.
En cada etapa del proceso símplex, la variable de entrada es la que tiene el indicador
positivo más grande. (Si el indicador más grande ocurre dos veces, lo elegimos
arbitrariamente entre las dos variables).
Enseguida debemos decidir si consideramos a t o a u como la variable de salida.
Consideremos estas dos posibilidades una por una.
Variable de salida t: En este caso, la base constará de (y, u), ya que y entra y t sale.
La SFB para esta base se obtiene haciendo x t 0. De las ecuaciones (1), tenemos
que 0 4y 0 9 y 2(0) y u 4. Así, y 9 4 y u 4 y 4 9 4
7 4 . Esta solución es aceptable puesto que tanto y como u son positivas.
Variable de salida u: Ahora, la base consta de (t, y) y las SBF corresponde a
hacer x u 0. De las ecuaciones (1), tenemos que 0 4y t 9 y 2(0) y
0 4. Por consiguiente, y 4 y t 9 4y 9 (4)4 7.
SECCIÓN 10-4 MÉTODO SÍMPLEX 427