Matemáticas aplicadas

co es expresar el integrando en términos de fracciones parciales. En el caso que tenemos,
es fácil ver que
1 y
1
m y
m
y(m y)
(Simplemente, combine las dos fracciones de la izquierda con su común denominador).
Así, después de multiplicar todo por m, la ecuación integrada anterior se transforma
en
1 y
1
m y
dy mp dt
Ahora podemos integrar ambos miembros, y obtenemos
ln y – ln (m – y) mpt B
en donde B es la constante de integración. Aquí, hemos supuesto que 0 y m de
modo que los argumentos de los logaritmos son positivos y no necesitamos utilizar
signos de valor absoluto. Combinando los logaritmos y haciendo k mp, obtenemos
Así,
y
m y
ln
y
kt B
m y
e Bkt e B e kt A 1 e kt
donde hemos escrito A 1 e B . La razón para definir A como esto es para hacer más
sencilla la respuesta final. Luego resolviendo para y, obtenemos
m
Ae kt y m y, y(1 Ae kt ) m, y
(2)
1 Ae
kt
☛ 30. Determine la solución
general de la ecuación diferencial
d y
y(y 1) para el caso cuando
dt
0 y 1
Ésta es la forma usual en la que se da la solución general y con frecuencia se conoce
como la función logística. La constante A se determina como es usual a partir del
valor inicial de y.
Lo dejamos como un ejercicio para usted, con la finalidad de que verifique
que la solución general aún esta dada por medio de la fórmula (2) en el caso cuando
y m, la única diferencia es que la constante A es negativa. ☛ 30
Respuesta
y
1
1 Ae
t
EJEMPLO 3 (Crecimiento exponencial) Para cierta población de conejos el crecimiento
sigue la ecuación logística (1) con la constante k pm teniendo el valor 0.25
cuando el tiempo se mide en meses. La población de manera repentina, por una epidemia
de mixamatosis, se reduce de su valor estable m a un tamaño igual al 1% de
m. ¿Cuántos meses pasarán para que la población se recupere al 90% de su valor
máximo Determine una expresión para el tamaño de la población después de t meses.
Solución El tamaño de la población y(t) satisface la ecuación diferencial
dy
dt
0.25
py(m y) y(m y)
m
702 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA