Matemáticas aplicadas

☛ 14. Resuelva las ecuaciones:
a) x 2 – 9 0
b) (x 1) 2 4
c) (x 1) 2 4
Respuesta a) x ±3
b) x 1, 3
c) no hay solución
o, en otras palabras,
(x 3) 2 16
Ahora esta ecuación se resuelve fácilmente tomando la raíz cuadrada en ambos
lados.
x 3 4 o bien x 3 4
En consecuencia, x 4 3 1 o x 4 3 7. Las dos soluciones son
x 1 y x 7 ☛ 14
Queda ahora la pregunta siguiente: ¿por qué decidimos, a partir de la ecuación
(3), considerar la cantidad (x 3) 2 En realidad, ¿por qué no consideramos (x 3) 2
o (x 57) 2 La razón es que, después de desarrollar el cuadrado del binomio, querríamos
que el resultado coincidiera con el primer miembro de la ecuación (3) por
lo que a los términos en x 2 y en x se refiere. Por ejemplo, si hubiésemos elegido
(x 3) 2 , tendríamos (x 3) 2 x 2 6x 9; si bien el término en x 2 es el mismo
que el del lado izquierdo de la ecuación (3), el término en x es diferente. Con el propósito
de obtener el mismo coeficiente en x que en la ecuación (3) debemos considerar
(x k) 2 , donde k es la mitad del coeficiente de x que aparece en la ecuación
(3) (es decir, k es igual a la mitad del coeficiente de 6, o sea 3).
El procedimiento de resolución de una ecuación cuadrática completando el
cuadrado se esboza en los siguientes pasos:
Paso 1 Dividamos toda la ecuación entre el coeficiente de x 2 .
Paso 2 Pasamos el término constante al segundo miembro.
Paso 3 Sumamos k 2 a ambos lados de la ecuación, en donde k es la mitad
del coeficiente de x que aparece en el primer miembro.
Paso 4 Ahora, el lado izquierdo de la ecuación es el cuadrado perfecto
(x k) 2 , de modo que la solución se obtiene extrayendo la raíz cuadrada a ambos
lados.
☛ 15. Complete el cuadrado en
cada caso:
a) x 2 – 4x 1
b) 3x 2 2x 1
c) 2y 2 5y 2 0
Respuesta a) (x – 2) 2 5
b) (x 1 3 )2 4 9
c) (y 5 4 )2 9
1 6
EJEMPLO 6
Solución
Resuelva la ecuación 2x 2 x 2 0 completando el cuadrado.
Paso 1 Dividiendo toda la ecuación entre 2,
x 2 1 2 x 1 0
Paso 2 x 2 1 2 x 1
Paso 3 El coeficiente de x es 1 .
2
Debemos tomar a k como la mitad de esto,
es decir, 1 . 4 Así, debemos sumar k2 ( 1 4 )2
1
16 a ambos lados.
x 2 1 2 x 1 1 6 1 1 1 6 1 1 7 6
Paso 4 El primer miembro de esta ecuación es ahora (x k) 2 , es decir,
[x ( 1 4 )]2 . De modo que
(x 1 4 )2 1 1 7 6
Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados, encontramos que
x 1 4 17
17
16 4
y por tanto x 1 4 17/4. (Esto concuerda con las raíces encontradas en el ejemplo
4). ☛ 15
78 CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE