Matemáticas aplicadas

) El ingreso I obtenido por vender x unidades está dado
por I(x) 60x 0.01x 2 . Determine el número de unidades
que deben venderse al mes de modo que maximicen
el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo
c) ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes
con el propósito de obtener una utilidad máxima ¿Cuál
es esta utilidad máxima
18. (Costo mínimo) El costo promedio por unidad (en dólares)
al producir x unidades de cierto artículo es C(x) 20
0.06x 0.0002x 2 . ¿Qué número de unidades producidas
minimizarían el costo promedio ¿Cuál es el correspondiente
costo mínimo por unidad
19. (Cercado) Un granjero tiene 500 yardas de cerca con la
cual delimitará un corral rectangular. ¿Cuál es el área máxima
que puede cercar
20. (Decisiones sobre cultivos) La producción de manzanas
de cada árbol en un huerto es de (500 5x) kilos, en donde
x es la densidad con que se plantan los árboles (es decir, el
número de árboles por acre. Determine el valor de x que
haga que la producción total por acre sea máxima.
21. (Agricultura) Si las plantas de arroz se siembran con una
densidad de x plantas por pie cuadrado, la producción de
arroz en cierta plantación es de x(10 0.5x) bushels por
acre. ¿Qué valor de x maximiza la producción por acre
22. (Decisiones sobre cultivos) Si los manzanos se plantan
con una densidad de 30 por acre, el valor de la cosecha producida
por cada árbol es de $180. Por cada árbol adicional
que se planta en un acre, el valor de la cosecha disminuye
en $3. ¿Cuál es el número de árboles que deben plantarse
por acre con objeto de obtener el valor máximo de la cosecha
¿Cuál es este valor máximo por acre de la cosecha
23. (Fijación del precio de un libro) Si un editor fija el precio
de un libro en $20 cada uno, venderá 10,000 ejemplares.
Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan
en 400 copias. ¿Qué precio debería fijar a cada libro de
modo que el ingreso sea máximo ¿Cuál es el valor de este
ingreso máximo
24. (Decisiones sobre fijación de precios) En el ejercicio 23,
el costo de producir cada ejemplar es de $13. ¿Qué precio
deberá fijar el editor a cada ejemplar con el propósito de
que la utilidad sea máxima
25. (Decisiones sobre fijación de alquileres) Bienes raíces
orientales ha construido una nueva unidad de 40 departamentos
para rentar. Se sabe por las investigaciones de mercado
que si asigna una renta de $150 al mes, se ocuparán
todos los departamentos. Por cada incremento de $5 en la
renta, un departamento quedará vacío. ¿Qué renta mensual
deberá asignar a cada departamento de modo que obtenga
ingresos por rentas mensuales máximos Calcule este ingreso
máximo.
26. (Decisiones sobre fijación de precios) La demanda del
mercado de cierto producto es de x unidades cuando el precio
fijado al consumidor es de p dólares, en donde
15p 2x 720
El costo (en dólares) de producir x unidades está dado por
C(x) 200 6x. ¿Qué precio p por unidad deberá fijarse
al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima
27. Demuestre que el vértice de la parábola cuya ecuación es
y a(x h) 2 k está en el punto (h, k).
5-3 MÁS FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS GRÁFICAS
☛ 16. ¿Cuál es la gráfica de f en
el caso n 1
Respuesta Una línea recta que
pasa por el origen con pendiente a.
En esta sección, estudiaremos algunas funciones elementales de uso e interés común.
Funciones potencia
Una función de la forma
f (x) ax n
en donde a y n son constantes distintas de cero, se denomina función potencia.
Consideraremos algunos casos especiales de funciones de este tipo.
1. n 2: En este caso f (x) ax 2 , y tenemos un caso especial de las funciones cuadráticas
expuestas en la sección 2. La gráfica de y ax 2 es una parábola con vértice
en el origen, que se abre hacia arriba si a 0 y hacia abajo si a 0.
☛ 16
SECCIÓN 5-3 MÁS FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS GRÁFICAS 193