Matemáticas aplicadas

☛ 27. (Más difícil) Demuestre
que f(x) x 1/3 no es diferenciable
en x 0. (Sugerencia: Vuelva a la
definición de la derivada, f′(0)).
15
T
(Miles)
10
5
(30, 5)
(20, 2)
0
10 20 30 40 50 60
(Miles)
I
FIGURA 17
los puntos en que la gráfica presenta esquinas. Esto ocurre en los valores de I que
marcan las divisiones de la escala de impuestos graduada. Entre estos puntos divisorios,
T es diferenciable, y su derivada representa la tasa de impuestos marginal.
Respuesta lím
x→0 f(0 x) f(0)
x
lím
x→0 (x)1 3
0 13
x
lím (x) 23
x→0
que no existe. (No es suficiente
decir que f no es diferenciable en
x 0 ya que f′(x) 1 3 x23 , que
no existe cuando x = 0. Todo esto
muestra que no existe lím f′(x) y
x→0
esto no es lo mismo que f′(0)).
Otro caso en que una función no es diferenciable surge cuando la línea tangente
en cierto punto resulta ser vertical. En tal caso, la pendiente de la línea tangente
no está definida en el punto en cuestión, de modo que la función no es diferenciable
en ese valor de x. Por ejemplo, dejamos como ejercicio probar que la función
f(x) x 1/3 no es diferenciable en x 0. ☛ 27
Observemos que en el ejemplo 7 tenemos una función que está definida y es
continua para todos los valores de x, pero no siempre es diferenciable. En x 0,
f(x) ⏐x⏐ es continua pero no diferenciable. Es claro que, por consiguiente, el
hecho de que una función sea continua no implica que sea diferenciable. Sin embargo,
la afirmación recíproca es cierta: si f(x) es diferenciable en un punto x c,
se sigue que es continua en x c. Así que, diferenciabilidad implica continuidad,
pero no al revés. No daremos una demostración de este resultado, aunque es muy
importante.
EJERCICIOS 11-6
(1-4) Utilice la gráfica de f(x) de la página 490 para estimar
los siguientes límites.
1. a) lím
2. a) lím
x→2 f(x)
x→3 f(x)
3. a) lím
x→1 f(x)
b) lím
x→2 f(x)
b) lím
x→3 f(x)
b) lím
x→1 f(x)
c) lím f(x)
x→2
c) lím f(x)
x→3
c) lím f(x)
x→1
4. a) lím
x→3 f(x)
b) lím f(x)
x→3
(5-16) Calcule los siguientes límites laterales.
5. lím
x→1 x1
c) lím f(x)
x→3
6. lím 1 2x
x→1/2
SECCIÓN 11-6 CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD (SECCIÓN OPCIONAL) 489