Matemáticas aplicadas

Claramente, f(x) no está acotada cuando x → 0. Sin embargo, x 0 no es un punto
crítico para esta función ya que f(0) no existe.
Es claro de las gráficas de la figura 10 que los extremos locales de una función
ocurren sólo en puntos críticos. Pero no todo punto crítico de una función corresponde
a un mínimo local o a un máximo local. El punto P en la parte a) de la figura
11, en donde la tangente es horizontal, es un punto crítico pero no es punto máximo
local ni punto mínimo local. Los puntos Q y R en las partes b) y c) son puntos
críticos en los que f(c) no existe, pero no son extremos de f(x).
y
y
y
P
f′(c) 0
Q
R
0
c
x
0
c
x
0
c
x
a)
b)
c)
FIGURA 11
Dentro de poco, desarrollaremos ciertas pruebas que nos permitirán distinguir
aquellos puntos críticos que son extremos locales de aquellos que no lo son. Primero
examinaremos los puntos críticos por medio de algunos ejemplos.
EJEMPLO 1 Determine los puntos críticos de la función
f(x) x 3 (2x 3 – 3x)
Solución Tenemos f(x) 2x 6 – 3x 4 . Diferenciando, obtenemos
f(x) 12x 5 – 12x 3 12x 3 (x 2 – 1)
Es claro que f(x) existe para toda x, de modo que los únicos puntos críticos son
aquellos en los que f(x) se hace cero:
f(x) 12x 3 (x 2 – 1) 0
así que
x 3 0 o bien x 2 – 1 0
De modo que los puntos críticos son x 0, ±1
EJEMPLO 2 Determine los puntos críticos de la función
f(x) x 4 (x –1) 4/5
Solución Diferenciando, por medio de la regla del producto,
f(x) 4x 3 (x 1) 4/5 x 4 ( 4 )(x
5
1)1/5
538 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS