Matemáticas aplicadas

4000
C(x)
1
(150, 3162 )
2
(100, 2810)
1
(50, 2457 )
2
(200, 2600)
2000
0 100 200 x
FIGURA 19
to de la producción introduce economías de escalas, de modo que el costo marginal
C(x) decrece. Sin embargo, después de cierto nivel de producción se hace cada vez
más costoso incrementar la producción porque, por ejemplo, debe adquirirse nueva
maquinaria y pagar tiempo extra a los trabajadores. En esta etapa, el costo marginal
empieza a incrementarse y la función de costo se hace cóncava hacia arriba.
Observe que la gráfica de C(x) siempre se inclina hacia arriba al movernos a
la derecha (C(x) 0).
EJEMPLO 3 Encuentre los valores de x para los cuales la función
f(x) xe 2x
crece o decrece y es cóncava hacia arriba o es cóncava hacia abajo.
Solución
f(x) xe 2x
f(x) (2x 1)e 2x
f(x) 4(x 1)e 2x
Puesto que e 2x siempre es positivo, el signo de f(x) es el mismo que el de (2x 1).
Así que, f(x) crece si 2x 1 0, esto es, cuando x 1 ,y
2
f(x) decrece si 2x
1 0, esto es, cuando x 1 . 2
De manera similar, el signo de f(x) es el mismo que el de (x 1). Por lo que
f(x) es cóncava hacia arriba si x 1 y cóncava hacia abajo si x 1.
DEFINICIÓN Un punto de inflexión de una curva es un punto en donde la curva
cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa.
Si x x 1
es un punto de inflexión de la gráfica de y f(x), entonces, a un lado
de x 1
la gráfica es cóncava hacia arriba, esto es, f(x) 0; y del otro lado de x 1
,
la gráfica es cóncava hacia abajo, es decir, f(x) 0. Así que al pasar de un lado al
SECCIÓN 13-3 LA SEGUNDA DERIVADA Y LA CONCAVIDAD 547