Matemáticas aplicadas

cir, n 70/R). Calcule n exactamente para los valores siguientes
de R: 4, 8, 12, 16 y 20. Compare sus respuestas
con aquellas obtenidas por la fórmula n 70/R y estime
la precisión de la regla práctica.
(19-22) Utilice la fórmula de cambio de base para demostrar
lo siguiente.
19. (log b
a)(log c
b)(log a
c) 1
20. (log b
a)(log c
b)(log d
c) log d
a
21. ln x (log x)(ln 10)
22. (ln 10)(log e) 1
(23-26) Exprese las funciones siguientes en la forma y ae kt .
23. y 2 t 24. y (1000)2 t/3
25. y 5(1.04) t
26. y 6 1 08 (1.05) t
27. (Crecimiento de la población) La población actual de Asia
es de 4 mil millones y crece a una tasa del 2% anual. Exprese
la población y al tiempo t (en años) a partir de este
momento en la forma y ae kt .
28. (Depreciación) Una compañía adquiere una máquina en
$10,000. Cada año el valor de la máquina decrece en un
20%. Exprese el valor en la forma be kt , en donde b y k son
constantes y el tiempo t 0 corresponde a la fecha de adquisición.
29. (Aumento en el I.P.C.) Entre enero de 1975 y enero de
1980, el índice de precios al consumidor I pasó de 121 a
196.
a) Calcule el incremento porcentual promedio por año durante
este periodo.
b) Exprese I en la forma be kt , con t 0 correspondiente a
enero de 1975.
c) Suponiendo que esta tasa de crecimiento continúa, determine
cuándo I alcanzará 250.
30. (Crecimiento de una población) Una población crece de
acuerdo con la fórmula
P 5 10 6 e 0.06t
en donde t se da en años. Calcule el porcentaje de crecimiento
anual. ¿Cuánto tardará la población en incrementarse
en un 50%
31. (Crecimiento de una población) Una población tiene un
tamaño dado por la fórmula
P P 0
e kt
Encuentre una expresión para el porcentaje de crecimiento
por unidad de tiempo y para el intervalo de tiempo que la
población tarda en duplicar su tamaño y también triplicarlo.
32. (Crecimiento en ventas) El volumen de ventas de cierto
producto está creciendo 12% anualmente. Si el volumen
actual es de 500 unidades diarias, ¿en cuánto tiempo se alcanzará
la cifra de 800 diarias
33. (Frecuencia publicitaria) El volumen de ventas de una
marca de detergente disminuye después de una campaña
publicitaria de acuerdo con la fórmula V(t) 750(1.3) t ,
donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña está
planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a
dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo debe pasar
entre dos campañas sucesivas
(34-36) Calcule la tasa nominal de interés que compuesta continuamente
es equivalente a:
34. 8% de interés anual.
35. 12% de interés anual.
36. 15% de interés anual.
37. (Precio de acciones) Se observó que la razón de aumento
de precio de cierta acción cambió entre el principio de
1982 y 1987 de acuerdo con la fórmula R 4(1.2) t , donde
t es el tiempo en años a partir de 1982. ¿Cuál era el valor
de la razón en 1987 (t 5) Suponiendo que se mantiene
el incremento, ¿cuándo alcanzara la razón el valor 20
(38-39) (Radiactividad) Muchos isótopos de elementos químicos
son inestables y cambian espontáneamente en otros isótopos;
este decaimiento se llama radiactividad y generalmente
está acompañada por la emisión de uno de los tres tipos de radiación
llamados rayos , o . Si una muestra contiene originalmente
una cantidad y 0
de un isótopo radiactivo, después
de un tiempo t contendrá una cantidad y y 0
e kt , donde k es
la constante de decaimiento.
38. La constante de decaimiento del C 14 (carbono-14) es de
1.24 10 4 cuando t está medido en años.
a) Calcule el porcentaje de la muestra original que permanece
después de 2000 años y después de 10,000 años.
b) Calcule el número de años necesarios para que decaiga
la mitad de la muestra (esto se llama la vida media del
isótopo).
39. La vida media del radio es de 1590 años (véase el ejercicio
38). Calcule su constante de decaimiento. Si se dejan 10
gramos de radio, ¿cuánto quedará despúes de 1000 años
40. (Población de bacterias) La población de bacterias en el
estómago de una persona que ha ingerido comida infectada,
se expande por división celular duplicándose cada 20
minutos. Si había 1000 bacterias inicialmente, expresar el
258 CAPÍTULO 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES