Matemáticas aplicadas

31. (Análisis del ingreso marginal) Dada la relación de demanda
19. y x 2/3 20. y x 1/5
ciente para valores pequeños de x pero eventualmente se
30. Repita el ejercicio 29 si C(x) 2000 15x 6x 2 x 3 convierte en una función decreciente. Encuentre el valor de
p 600 x
21. y ln x 22. y e , donde x unidades pueden venderse a
2x
23. y 2 un precio de p cada una. Encuentre cuándo el ingreso marginal
sea:
x 24. y 1
x
(25-28) (Análisis de funciones de costo, ingreso y utilidad) Para
a) creciente. b) decreciente.
las siguientes funciones de costo y relaciones de demanda,
determine las regiones en que a) la función de costo, b) la función
32. Repita el ejercicio 31 para la relación de demanda P
50e x/20
de ingreso y c) la función de utilidad son crecientes o de-
33. (Costo marginal y promedio) Para la función de costo C(x)
crecientes.
6 2x(x 4)(x 1), pruebe que los costos marginal
25. C(x) 2000 10x; p 100 1 x 2
y promedio siempre son decrecientes para x 0.
26. C(x) 4000 x 2 ; p 300 2x
34. (Ingreso marginal) Para la relación de demanda p 50
ln (x 1), pruebe que el ingreso marginal siempre es decreciente
para x 0.
27. C(x) C 0
kx; p a bx (a, b, k y C 0
son constantes
positivas).
35. (Costo promedio creciente) Demuestre que la función de
28. C(x) 100 x 2 ; p a (bx) 100 x 2 . (Suponga
costo promedio C(x) es una función creciente cuando el costo
marginal excede al costo promedio.
que b a 0).
29. (Análisis del costo marginal) El costo de producir x miles
36. (Felicidad material) Sea H(x) la cantidad de felicidad que
de unidades de cierto producto está dado por C(x) 2500
un individuo obtiene por poseer x unidades de algún bien.
9x 3x 2 2x 3 . ¿En qué nivel de producción el costo
Un modelo usado a veces para esta cantidad es H(x) A
marginal es
ln (1 x) Bx, donde A y B son constantes positivas con
a) creciente b) decreciente
A B. Calcule H(0). Pruebe que H(x) es una función cre-
x en el cual H(x) sea máxima.
13-2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Muchas de las aplicaciones importantes de derivadas incluyen encontrar los valores
máximo y mínimo de una función particular. Por ejemplo, la utilidad que obtiene un
fabricante depende del precio que cobra por el producto y el fabricante está interesado
en conocer el precio que hace que su ganancia sea máxima. El precio óptimo
(o mejor precio) se obtiene por medio de un proceso llamado maximización u optimización
de la función de utilidad. De una manera similar, una compañía de bienes
raíces puede estar interesada en generar el ingreso máximo por renta; una compañía
ferroviaria puede necesitar conocer la velocidad promedio a la cual los trenes deben
viajar para minimizar el costo por milla de operación; o un economista puede desear
conocer el nivel de impuestos en un país que promoverá la tasa máxima de crecimiento
de la economía. Sin embargo, antes de ver las aplicaciones tales como
éstas, analizaremos la teoría de máximos y mínimos.
DEFINICIONES a) Se dice que una función f(x) tiene un máximo local en x c
si f(c) f(x) para toda x suficientemente cerca de c.
Así los puntos P y Q en las gráficas en la figura 7 corresponden a máximos
locales de las funciones correspondientes.
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