Matemáticas aplicadas

16 243 a r8
ar3
1 2
r 5
1
6
243 2 1 2 3 4 2 3 (2 3 )5
r 2 3
Sustituyendo este valor de r en la primera ecuación, resulta que
a( 2 3 )3 1 2
Por tanto,
a 1 2 2 8 7 2 1 7 6
y asimismo
☛ 9. En una PG, T 7
2 y
T 11
8. Encuentre una expresión
para T n
y calcule T 15
T 6
ar 5 2 1 7 6 (2 3 )5 2 1 7 6 2 3 4 2 3 2 9
En consecuencia, el sexto término es 2 9 . ☛ 9
En el ejemplo 2 de la sección 7-1 vimos un ejemplo de depreciación, en el que
el monto de la depreciación anual era constante. Este método se denomina depreciación
lineal (también véase la sección 4-3). Un método alterno es depreciar un porcentaje
fijo del valor del año anterior.
EJEMPLO 3 (Depreciación) Una máquina se compró en $10,000 y se deprecia
anualmente a una tasa del 20% de su valor. Determine una expresión para el valor
después de n años. Si el valor de desecho es $3000, ¿cuál es la vida efectiva de la
máquina (i.e., el número de años hasta que su valor depreciado sea menor que su
valor de desecho)
Solución Ya que el valor de la máquina se deprecia cada año en un 20% de su valor
al inicio del año, el valor de la máquina al término de cada año es el 80% o cuatro
quintos del valor al inicio de ese año. Así que, el valor (en dólares) de la máquina al
término del primer año es
y al acabar el segundo año es de
4 5 de 10,000 10,000(4 5 )
4 5 de 10,000(4 5 ) 10,000(4 5 )2
De manera similar, el valor (en dólares) al término del tercer año será de 10,000( 4 5 )3 ,
etc. Por tanto, el valor (en dólares) de la máquina al término del primer año, del segundo
año, del tercer año, etc., es
10,000( 4 5 ), 10,000(4 5 )2 , 10,000( 4 5 )3 ,...
Respuesta Existen dos respuestas:
T n
(2) n5 , T 15
32
Es claro que esta sucesión es una PG con primer término 10,000( 4 )
5
y razón común
de 4 .
5
Por tanto, el n-ésimo término que da el valor de la máquina al término del n-ésimo
año es
T n
ar n1 10,000( 4 ) 5 (4 5 )n1 10,000( 4 5 )n
SECCIÓN 7-2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO 275