Matemáticas aplicadas

☛ 4. Encuentre A 1 , si
5 4
A 4 3
R 1
R 3
1 0 0
9 2 5 2 1 2
R 2
R 3 0 1 0 5 2 1 2 1 2
0 0 1 1 2 1 2 1 2
Esta matriz es la forma reducida I A 1 .
Por consiguiente,
9
2 5 2 1 2 9 5 1
A 1 5 2 1 2 1 2 1 5 1 1
2
1 2 1 2 1 2 1 1 1
El lector puede verificar que ésta es en realidad la matriz inversa de A comprobando
las dos ecuaciones
Respuesta
3
A 1 4
4
5
AA 1 y A 1 A I ☛ 4
¿Cómo sabemos si una matriz A es invertible o no Si aplicamos el procedimiento
de transformar A I a su forma reducida y si en cualquier etapa encontramos
que cualquiera de los renglones a la izquierda de la línea vertical sólo consta de ceros,
entonces puede probarse que A 1 no existe.
☛ 5. Encuentre A 1 , si existe, si
1 2 1
a) A 0 2 1
1 1 0
1 4 7
b) A 2 5 8
3 6 9
EJEMPLO 4 Determine A 1 si existe, dada
Solución
A
1 2 3
2 5 7
3 7 10
1 2 3 1 0 0
A I
R 2
2R 1
2 5 7 0 1 0 R 3
3R
1
3 7 10 0 0 1
R 3
R 2
1 2 3 1 0 0
0 1 1 2 1 0
0 1 1 3 0 1
1 2 3 1 0 0
0 1 1 2 1 0
0 0 0 1 1 1
Dado que el tercer renglón a la izquierda de la línea vertical sólo consta de ceros, la
reducción no puede completarse. Debemos concluir que A 1 no existe y que A es
una matriz singular. (Véase también el ejemplo 4 de la sección 9-5). ☛ 5
Respuesta
a) A 1
b) A 1 no existe.
1 1 0
1 1 1
2 1 2
Las inversas de matrices tienen muchos usos, uno de los cuales está en la solución
de sistemas de ecuaciones. En la sección 8-3, resolvimos sistemas de ecuaciones
lineales transformando la matriz aumentada a su forma reducida. En el caso
en que tengamos n ecuaciones con n variables, también podemos resolver el sistema
encontrando la inversa de la matriz de coeficientes.
Un sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como AX B.
Si la matriz de coeficientes A es invertible, existe A 1 . Multiplicando por la izquierda
ambos lados de la ecuación matricial dada por A l , obtenemos
SECCIÓN 9-1 LA INVERSA DE UNA MATRIZ 359