Matemáticas aplicadas

20. (Utilidades marginales) El editor de una revista descubre
que si fija un precio de $1 a su revista, vende 20,000 ejemplares
al mes; sin embargo, si el precio fijado es de $1.50,
sus ventas sólo serán por 15,000 ejemplares. El costo de producir
cada ejemplar es de $0.80 y tiene costos fijos de
$10,000 al mes. Suponiendo una ecuación de demanda lineal,
calcule su función de utilidad marginal y determine el
precio de la revista que haga la utilidad marginal igual a
cero. Evalúe la utilidad misma cuando el precio es:
a) $1.80 b) $1.90 c) $2
21. (Costo marginal y costo promedio) Demuestre que si la
función de costo es de la forma C(x) ax 2 bx c, entonces
en el valor de x para el cual el costo marginal es igual
al costo promedio C(x), la derivada (d/dx)C(x) es cero.
*22. (Costo marginal y costo promedio) Pruebe que el resultado
del ejercicio 21 es válido para cualquier función de costo
C(x) que sea una función polinomial de x. (Esto es, C(x)
consta de una suma de potencias de x, donde cada potencia
está multiplicada por una constante).
23. La función de consumo de cierta nación está dada por
C(I) 4 0.36I 0.48I 3/4 . Encuentre las tendencias marginales
a consumir y a ahorrar, si el ingreso nacional es I
16 mil millones.
11-6 CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD (SECCIÓN OPCIONAL)
Al considerar el valor límite de una función f(x) cuando x tiende a c, debemos considerar
valores de x que son tanto menores como mayores que c. Sin embargo, en
algunos casos el comportamiento de una función dada es diferente si x c del correspondiente
a x c. En tal caso, desearíamos considerar por separado las posibilidades
de que x tiende a c por la derecha o por la izquierda.
Decimos que x tiende a c por la derecha y escribimos x → c si x toma una
sucesión de valores que están cada vez más cerca de c, pero siempre son mayores que
c. (Véase la página 452). Decimos que x tiende a C por la izquierda y escribimos
x → C si x toma una sucesión de valores cada vez más cercanos a C, pero siempre
menores que C. Si f(x) tiende al valor límite L cuando x → c , escribimos
lím f(x) L
x→c
Si f(x) se aproxima al valor límite M cuando x → c , escribimos
lím f(x) M
x→c
Límites de este tipo se denominan límites laterales.
EJEMPLO 1 Investigue los valores límites de f(x) x 1 cuando x tiende a 1
por la derecha y por la izquierda.
Solución Cuando x → 1 , x 1 tiende a cero mediante valores positivos. Por
consiguiente,
lím x 1 0
x→c
Por otra parte, cuando x → 1 , x 1 aún se aproxima a cero, pero siempre es una
cantidad negativa. Así pues, x 1 no está definida si x 1, de modo que lím
x→1
x 1 no existe.
La gráfica de y x 1 aparece en la figura 9. El dominio de esta función
no comprende los valores de x que sean menores que 1, por lo que el límite por la
izquierda no existe.
482 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA