Matemáticas aplicadas

☛ 13. Si ce 0.05t c(1 i) t para
todos los valores de t, ¿cuál es el
valor de i
P 0
(1 i) n P 0
e 0.03n
(1 i) n e 0.03n
1 i e 0.03 1.0305
i 0.0305
Por tanto, como i R/100.
R 100(0.0305) 3.05
Respuesta
i e 0.05 1 0.05127
La población crece 3.05% por año. ☛ 13
Nota En estos dos ejemplos de crecimiento de población, la población estaba
expresada en términos de cierta función exponencial natural. En efecto, es muy
común, en el caso de variables que están creciendo (o decayendo), expresarlas utilizando
la base e en la forma ce kx (o ce kx ), en donde c y k son constantes positivas.
Sin embargo, no es esencial utilizar la base e, y en los ejemplos 5 y 6 de la sección
6-1 ya vimos casos en donde el crecimiento poblacional está expresado con una base
diferente, en la forma c(1 i) t . Ambas formas son correctas, y como en el ejemplo
5 aquí lo muestra, son equivalentes.
EJERCICIOS 6-2
(1-4) Dada f(x) e x , demuestre que:
1. f(0) 1 2. f(x y) f(x) f(y)
f(x)
3. f(x y) 4. [ f(x)] n f(nx)
f(y)
(5-12) Determine el dominio y el rango de las siguientes funciones.
5. y f(x) 2 x 6. y f(x) (0.2) x
7. y f(t) 2 t 8. y f(u) 3e u
9. y g(x) 5 2e x 10. y f(t) 3 2e t
1
*11. y f(x) *12. y f(x) (2 3e x ) 1
3 2
x
(13-20) Construya las gráficas de las siguientes funciones exponenciales
calculando algunos de sus puntos.
13. y ( 3 2 ) x 14. y ( 1 2 ) x
15. y ( 1 2 ) x 16. y 3 x
17. y ( 1 3 )x 18. y 3 x
19. y ( 2 3 ) x 20. y ( 3 4 )x
(21-32) Por medio de las gráficas de y e x y y e x , haga un
bosquejo de las gráficas de las siguientes funciones exponenciales.
21. y e x 22. y e 2x
23. y 1 e x 24. y e 2e x
25. y e ⏐x⏐ 26. y e ⏐x⏐
27. y e x⏐x⏐ 28. y e x⏐x⏐
29. y e x 2 30. y e x 2
1
e
*31. y *32. y = x
1 e
x
1 2e
x
33. Una población de microorganismos se duplica cada 20 minutos.
Si al principio están presentes 200 organismos, encuentre
una fórmula para el tamaño de la población después
de t horas.
34. Una población de microorganismos se duplica cada 45 minutos.
Si al principio están presentes 5000 organismos,
¿cuántos habrá después de:
a) 3 horas
b) 6 horas
c) t horas
236 CAPÍTULO 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES