Matemáticas aplicadas

y y
y m
m
1 Ce
k(200) 1 C(e
100k
) 2
275 275
200 (millones)
1 54(
1
1 ( 3 8 1 2 ) 2 )
(Este ejemplo proporciona una aplicación aproximada de la ecuación logística a la
población de Estados Unidos en los años 1777 (t 0) a 1977 (t 200). Para este
ejemplo, el tamaño eventual de la población es 275 millones).
La ecuación logística se utiliza en muchas situaciones diferentes a las del crecimiento
de poblaciones. Las características esenciales de la función logística son que para
valores pequeños de t, se parece a una función exponencial, mientras que para valores
grandes de t, se nivela y aproxima cada vez más a cierto valor límite. Estas características
acontecen en varios fenómenos y explica el amplio uso de esta función.
Un ejemplo es la difusión de información en una población. Por ejemplo, la
información podría ser una noticia, un rumor, o el conocimiento acerca de algún
nuevo producto que se ha lanzado recientemente al mercado. Si p representa la proporción
de la población que está al corriente de la información, entonces para valores
pequeños de t, p es pequeña y crece comúnmente de una manera exponencial.
Sin embargo, p no puede exceder a 1, y cuando t se hace más grande, p se hace más
cercana a este valor conforme la información se difunde en toda la población. Utilizando
la ecuación logística, modelaríamos a p por medio de la expresión
p
1
1 Ce
kt
EJEMPLO 11 (Difusión de información) En t 0, 10% de los corredores de bolsa
han escuchado acerca del inminente colapso financiero de una gran aerolínea.
Dos horas más tarde, 25% han escuchado tal información. ¿Cuánto tiempo pasará
antes de que el 75% la haya escuchado
Solución Si t 0, determinamos que
1 1
p
0.1
1 Ce
k(0) 1 C
Por tanto, 1 C 10 o C 9. Ahora, cuando t 2, tenemos
Por consiguiente,
1
1
p
0.25
1 Ce
k(2) 1 9e
2k
1 9e 2k 4
9e 2k 3
e 2k 1 3
256 CAPÍTULO 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES