Matemáticas aplicadas

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29. (p 3 3p)(p 2 1) 30. (p 3 )(p 5) p2 u *31. u 2 32. 5 m 3 m 1 2 *33. (y2 1) (y 5) 3y2 34. (u 2 2u 15)(u 2 u 30) *35. x 1 *36. x2 1 u 2 1 1 1 u u (37-40) Determine el costo marginal de cada una de las siguientes funciones de costo. 37. C(x) 800 5x 2 38. C(x) 0.1x 3 2x 2 10x 2500 39. C(x) 0.2x 2 8x 500 40. C(x) 0.001x 3 0.01x 2 25x 700 (41-42) Determine la utilidad marginal dada cada una de las siguientes ecuaciones de demanda. 41. 2x 25p 2000 42. x 2 200p 500 (43-44) Calcule la utilidad marginal en los problemas 41 y 42, si la función de costo es C(x) 1500 8x. 45. (Precio marginal) Si la función de demanda está dada por p f(x), entonces dp/dx se denomina función de precio marginal. La ecuación de demanda de cierto producto es p 2000 5x x 2 . Determine el precio marginal a un nivel de demanda de 15 unidades. 46. (Precio marginal) La ecuación de demanda de cierto producto es p 25/(x1). Determine la función de precio marginal. 47. (Demanda marginal) Si la relación de demanda está dada por x f(p), entonces dx/dp se denomina la demanda marginal. Si la ecuación de demanda de cierto producto es p 2 2x 50, determine la demanda marginal a un nivel de precio de p 2. Interprete el resultado. 48. (Productividad física) La productividad física p se define como la producción física de un número dado de trabajadores o máquinas y es, entonces, una función del número x de trabajadores o máquinas. En el caso de cierta empresa, p 200(x 1) 2 100. Determine la productividad física marginal dp/dx cuando x 2. (49-51) Investigue si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican. 49. f(x) , 50. f(x) , 7 x 3 si x 2 x 2 x 2 1 6 si x 2 x 2 x 6 x 2 si x 3 2x 15 x 3 5 8 si x 3 51. f(x) ⏐x 2⏐ , x 2 x 2 52. Determine el valor de a si x 2 a si x 2 f(x) 7 si x 2, es continua en x 2 53. Si f(x) 1 x2 para x 1 y f(x) es continua en x 1, 1 x determine f(1) 54. (Costo de un empleado) Sea c(x) el costo que tiene una empresa en el contrato de un empleado que trabaja x horas en una semana. Este costo consta de (1) un costo fijo de $30, (2) un sueldo de $8 por hora para las primeras 40 horas, (3) un sueldo extra de $12 la hora por cada hora laborada por encima de 40 y hasta la 50 y (4) un salario extraordinario de $15 por cada hora laborada, por arriba de la hora 50. Estudie la continuidad y la diferenciabilidad de c(x) y dibuje su gráfica. 55. (Tasa de interés) En un estado el impuesto a la venta se establece de la manera siguiente. Para ventas menores de $1500 el impuesto es de 3%. Para cantidades de $3500 o más, y hasta $6500 el impuesto es 5% y para cantidades mayores a $6500, el impuesto es de 8%. Construya la gráfica de la tasa de impuesto como una función del monto de la venta, y analice su continuidad y diferenciabilidad. PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 11 493
CASO DE ESTUDIO PROPAGACIÓN DE UNA EPIDEMIA En el caso que se planteó al inicio del capítulo, que trataba con el número de infectados por cierta enfermedad, se tenía el modelo I(t) 10000 4500(t 1/2 1), para t ≥ 1 La primera pregunta, “¿cuántos casos se tienen en la primera semana”, se puede responder ya sea por medio de la gráfica, o bien, con el cálculo de I(1); por lo que a) El número de enfermos en la semana 1 es I(1) = 1000. El aumento de casos de la semana 4 a la semana 6 no es más que (I) I(6) I(4), es decir, b) El aumento de casos de la semana 4 a la semana 6 es igual a I(6) I(4) 413 casos c) En promedio, ¿qué tan rápido se propaga la enfermedad en la semana 1 a la 2 Se sustituye t 1, t 1 en la expresión anterior y se obtiene I(t) I(2) I(1) Rapidez promedio de propagación, t 1 1318 individuos/semana. La pregunta, “¿qué tan rápido se propaga la enfermedad en la semana 9”, es diferente a la anterior, pues aquí se pide la rapidez instantánea, es decir, se debe analizar cuando t → 0. Por lo que si aplicamos las fórmulas estudiadas en este capítulo a I(t), se obtiene d I( t) d (10,000 4500(t dt d t 1/2 1) 45 00 t 2 3/2 Por tanto, Así que, Ahora bien, la rapidez de propagación promedio de la enfermedad, del tiempo t al t, como se vio en la sección 11.1, está dada por I(t) I(t t t t Así que para responder la tercera pregunta: dI(t) dt 2250 t 3 d) y e) En la semana 9 la enfermedad se propaga con una rapidez de dI ( d 9) t 22 50 2 83.33 individuos/semana 7 y en la semana 50, dI(9) dt 2250 50 3 6.36 individuos/semana Así, la doctora Socorro recopiló información en la población y en realidad el número de enfermos, en algunas semanas fue la siguiente Semana Núm. enfermos 1 848 8 2400 18 3600 28 4490 35 5020 46 5755 La gráfica de los puntos aparece a continuación, Enfermos 6000 5000 4000 3000 2000 1000 10 20 30 40 50 Semana Con estos puntos y técnicas estadísticas, que analizará en otros cursos, se determinó que un modelo más adecuado para el número de enfermos en la semana t es 494 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA
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QUINTA EDICIÓN Matemáticas aplica
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ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W
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Contenido PREFACIO xi PARTE UNO ÁL
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PARTE DOS MATEMÁTICAS FINITAS 7 PR
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Repaso del capítulo 14 615 Problem
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• Prácticamente todos los ejerci
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CAPÍTULO 1 Álgebra Álgebra y alg
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La segunda forma de la propiedad di
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☛ 4. ¿Están definidas las expre
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EJEMPLO 2 a) 3 5 7 9 3 5
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☛ 8. En cada caso, ¿cuál es mí
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Por tanto la expresión dada es igu
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TEOREMA 6 a c b c a b (c 0)
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Esto sugiere que la tabla se comple
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En una expresión, tal como 3c 5 ,
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33. (x 2 y) 3 34. (a b 2 ) 1 49.
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DEFINICIÓN Sea n un enero positivo
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3 9 EJEMPLO 6 Encuentre m tal que
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x3 35. x /7 1/7 y2/ 5 y1/ 5 36.
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Reagrupando los términos, de tal m
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18x 3 15x 2 6x 18x 3 15x 2 6x (3x
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Esta propiedad es útil cuando divi
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☛ 25. Verifique si es correcta la
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☛ 26. Saque todos lo factores com
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EJEMPLO 3 Factorice ax 2 by 2 bx
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Solución a) La factorización de x
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Con el propósito de que una expres
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) Multiplicamos por x 2 5: ☛ 34.
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5(x 2 4) (x 1)(x 2 4x 4) 3(x
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EJERCICIOS 1-7 (1-40) En las expres
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REPASO DEL CAPÍTULO 1 Resumen 1.1
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33. 64 f 3 1 41. 10t 2 13tu 3u 2
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CAPÍTULO Ecuaciones de una variabl
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Así, por ejemplo, 5 es una raíz d
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lo cual concuerda con la ecuación
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EJEMPLO 4 Solución Resuelva la ecu
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EJERCICIOS 2-1 (1-10) Compruebe si
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Paso 2 Luego, el segundo entero es
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17. (Inversión) Una persona invirt
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Observemos que el punto crucial del
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☛ 12. Resuelva la ecuación: x 2
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Terminamos esta sección deduciendo
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41. 7x 3(x 2 5) x 3 42. 2x(4x
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a una renta de $180 mensuales. A un
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Solución Al final del primer año,
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c) Determine la altura máxima que
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16. 21x 30 45x 26 17. 32x 8 x *
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CAPÍTULO 3 Desigualdades ¿Comprar
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Por una colección bien definida, e
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☛ 3. ¿Las siguientes proposicion
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Usamos los símbolos q (infinito) y
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EJEMPLO 1 a) 3 x 2x 4 es una desi
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Pero, dado que (a c) (b c) es po
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Solución En este caso, como x apar
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mano de obra. Determine el número
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3/2 0 4 FIGURA 8 quier punto en cad
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Solución El ingreso I (en dólares
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lar de incremento en el precio, las
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establece que la distancia entre x
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Solución Utilizando la proposició
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(37-38) Exprese las siguientes afir
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42. ⏐2x⏐ ⏐x⏐ 12 *43. ⏐x
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CAPÍTULO 4 Líneas rectas El probl
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☛ 1. Grafique los puntos (4, 0),
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y (0, y 2 ) B Q (x 2 , y 2 ) (0, y
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face cuando sustituimos x 1 y y 1.
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TABLA 3 q 0 1 2 3 p 10 7 4 1 Grafic
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Observemos que la elevación es igu
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A través de cualquier punto, hay p
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Enseguida, supóngase que la línea
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☛ 9. Determine la pendiente y la
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Esto se ilustra en la figura 17. De
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Haciendo x 0 en la ecuación (2),
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☛ 14. Una compañía está utiliz
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(20, 25) y (30, 20). La pendiente d
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cienden a 2000 televisores al mes.
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DEFINICIÓN Un sistema de ecuacione
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Solución La primera etapa consiste
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líneas, y de aquí, dan una soluci
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Solución En este sistema, una de l
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Ahora tenemos que resolver dos ecua
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por las ventas, no hay utilidad ni
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elación lineal como una representa
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☛ 25. Si la ley de la demanda es
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EJEMPLO 7 (Subsidio y punto de equi
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(9-14) (Equilibrio del mercado) Det
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6. Pasa por los puntos (0, 0) y (7,
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CASO DE ESTUDIO EL PROBLEMA DE LA S
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5-1 FUNCIONES ☛ 1. ¿Lo siguiente
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Por tanto, g(1) g(h) 6 3h 2 2h
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☛ 4. Grafique las funciones y 4
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les x para los cuales f (x) es un n
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En los ejemplos anteriores, hemos e
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Una función f definida por la rela
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(19-24) Evalúe [ f (x h) f (x)]/
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65. De un hoja rectangular de 20 1
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Solución Comparando la ecuación y
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☛ 14. En el ejemplo 3, exprese la
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) El ingreso I obtenido por vender
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☛ 17. Dibuje las gráficas de f (
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☛ 18. Determine la ecuación del
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Algunas veces sucede que una empres
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Funciones valor absoluto Si x es un
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Solución Para 3 x 0, esto es, pa
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tintas al tiempo t; ahora, el ingre
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) g(4) 4 2. Tenemos (f ° g)(4)
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3q 600. Como una función de la ca
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La ecuación (1) podría pensarse t
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☛ 28. Dada f (x) como sigue, encu
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13. xy 2 (x 2 1)y x 0 14. y 2
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32. (Función de costo) El costo po
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CAPÍTULO 6 Logaritmos y exponencia
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EJEMPLO 1 (Inversiones) Una suma de
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Para la segunda, i 0.0305 y k 4,
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☛ 6. Suponga que $1 se invierte a
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EJEMPLO 8 (Inversión) Una inversi
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EJERCICIOS 6-1 (1-2) Si $2000 se in
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6-2 FUNCIONES EXPONENCIALES Conside
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5 y y = 3 x 1 y = ( ) 3 x 4 3 y =
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☛ 11. Utilizando los valores tabu
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35. Durante el otoño, en promedio
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Al igual que con cualquier función
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Los logaritmos tienen las cuatro pr
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) En la base de la tabla, encontram
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Logaritmos comunes En algún tiempo
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(23-28) Dado que log 5 0.6990 y lo
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Por tanto, log 2.5 0.3979 n (de
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) e (1.609)t ; c) e [ln (1i )]t P
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☛ 29. Exprese lo siguiente en té
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y y m y 0 0 t Por tanto, y se hace
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Tomando logaritmos naturales de amb
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tamaño de la población después d
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h) l n a5 ln a ln a3 2 1 i) log
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Calcule el porcentaje de la muestra
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CAPÍTULO 7 Progresiones y matemát
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El n-ésimo término está dado por
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Si la inversión es a interés simp
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☛ 7. Una PA tiene segundo términ
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* 28. (Descuento simple) La señori
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16 243 a r8 ar3 1 2 r 5 1
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S n a( 1 r n ) 1 r Esto prueba
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☛ 13. El decimal recurrente 0.515
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Planes de ahorro El tipo más simpl
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☛ 15. Utilizando la tabla A.3.4 e
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☛ 18. Utilizando la tabla A.3.4 d
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En consecuencia, la ecuación (1) t
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24. (Plan de ahorro) El señor Lóp
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que describen un proceso que evoluc
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y se satisface la ecuación en dife
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TABLA 4 n 0 1 2 3 4 5 6 7 Año 1991
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☛ 25. Determine la solución para
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Por lo regular, esta ecuación en d
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Ahora, el préstamo inicial (que es
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0.5 y n y n1 y 1 00 n1 1000 1.
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a) Determine la ecuación en difere
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☛ 30. En el ejemplo 1, evalúe a)
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TEOREMA 2 a) n k1 b) n k1 c) n k
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PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 7
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CASO DE ESTUDIO ¿CÓMO SALVAR EL H
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8-1 MATRICES Una empresa produce cu
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Una matriz con el mismo número de
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Respuesta Calculamos la matriz de v
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a) Escriba una matriz que represent
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En consecuencia, en detalle, ☛ 8.
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Por consiguiente, AI IA A. Advert
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Definimos la matriz A m n cuyos el
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36. Dé un ejemplo de dos matrices
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2y 2. Sumando esto a la primera ec
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☛ 13. Escriba la matriz aumentada
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Usemos ahora el segundo renglón pa
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Para la primera columna aplicamos l
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8-4 SISTEMAS SINGULARES Todos los s
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Al igual que en el ejemplo 1, obtuv
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Solución La matriz aumentada es P
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*32. Daniela es la gerente de una c
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Por tanto, para el segundo año: C(
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9-1 LA INVERSA DE UNA MATRIZ DEFINI
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o bien, Por consiguiente, a 3c b
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☛ 6. Resuelva el ejemplo 6 si 0 1
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Leontief, la economía de Estados U
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☛ 7. ¿Cuáles son las produccion
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☛ 9. Una economía de dos sectore
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9-3 CADENAS DE MARKOV (OPCIONAL) Un
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☛ 10. ¿Las matrices siguientes s
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Hoy Primer día Segundo día Tercer
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EJEMPLO 4 (Predicción del tiempo)
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en lugar de [0.25 0.75]. En otras p
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Estado 1 Estado 2 Estado 1 0.6 0.4
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a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
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Solución Desarrollando por el prim
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Una aplicación importante de los d
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Debe señalarse que la regla de Cra
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De manera similar, 11 1 2 3 A 11 (
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a) Determine la matriz insumo-produ
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TABLA 10 Industria Demandas Producc
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44. Tira un par de dados no cargado
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CAPÍTULO 10 Programación lineal C
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La gráfica de la desigualdad Ax B
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90y 30,000 165x 165 30,000 90y x
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☛ 4. ¿Cómo se modifican las des
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nen un costo no mayor de $1.00 y qu
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y 40 5x 3y 105 20 (12, 14) 2x 4y
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☛ 7. Utilice el método gráfico
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te evidente que la línea de utilid
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Consideremos un problema de program
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y 20% de nueces; mientras que la m
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y las ecuaciones lineales y t 1.5
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y 3 2 A x y 2.5 (v 0) B y 1.5 (
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☛ 13. Construya la tabla símplex
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0.3x 0.4y t u w 19.5 0.6x 0
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10-4 MÉTODO SÍMPLEX El procedimie
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Variable de salida u: Mediante un a
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x y t u y 0 1 2 7 1 7 2 x 1 0
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Paso 1 Definimos las variables de h
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EJEMPLO 3 Minimice C 10 x 2y suj
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CASO DE ESTUDIO PRODUCCIÓN ÓPTIMA
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11 CAPÍTULO CAPÍTULO La derivada
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Page 484 and 485: ☛ 17. Encuentre d y si dx 2 a)
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Page 496 and 497: La razón S/I representa la fracci
Page 498 and 499: y 2 1 (2, 1) (4, 3) 1 y 0 1 2 3 4 x
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Page 514 and 515: ☛ 3. Utilice la regla del cocient
Page 516 and 517: Solución C(x) 0.003x 2 0.6x 40
Page 518 and 519: (x 31. f (x) 2 1)(2x 3) (t 3)(3
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Page 522 and 523: Para determinar du/dx escribimos u
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Page 526 and 527: vertido K en planta y maquinaria. S
Page 528 and 529: Pero usando una propiedad básica d
Page 530 and 531: Por tanto, cuando se gastan $3000 e
Page 532 and 533: ☛ 15. Derive a) y ln [(x 1) 2 ]
Page 534 and 535: 55. y a x 56. y 3 x2 1 57. y log
Page 536 and 537: mecánica establece que cuando una
Page 538 and 539: C' (x) 17.5 10 0 50 100 150 x EJEMP
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Page 546 and 547: y y y f(x) y f(x) y y y y y y 0
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Page 552 and 553: ☛ 4. Proporcione los valores de x
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x 11. 2 12. x 2/3 x 1/3 33. f(x)
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☛ 9. Determine los intervalos en
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4000 C(x) 1 (150, 3162 ) 2 (100, 28
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Prueba de la segunda derivada En la
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☛ 13. Para cada una de las siguie
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☛ 14. Determine los intervalos en
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En consecuencia, la gráfica es cre
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EJERCICIOS 13-4 (1-12) Bosqueje las
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La solución de problemas de optimi
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Una de las aplicaciones más import
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☛ 19. Determine el valor de x que
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La utilidad máxima es P máx (20
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da vez, los costos de almacenamient
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31. (Modelo de costo de inventarios
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13-6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
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La tapa cuesta (r 2 )(300) dólares
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11. f(x) x ln x; e 1 x e 12. f(
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TABLA 8 x 1 10 100 1000 10,000 f(x
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Solución a) Tenemos que Por la reg
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☛ 28. Para la función 1 y , det
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a cero a través de valores positiv
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EJERCICIOS 13-7 (1-36) Evalúe, si
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Punto de inflexión. Prueba de la s
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Determine la tasa de producción x
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CASO DE ESTUDIO OPTIMIZACIÓN DE CO
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CAPÍTULO 14 Más sobre derivadas C
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EJEMPLO 2 Si y x 3 3x, determine
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☛ 3. Haciendo elecciones apropiad
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☛ 6. Vuelva a resolver el ejemplo
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Al usar esta técnica, derivamos ca
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La ecuación de la línea tangente
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☛ 11. Determine los puntos en la
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35. ln (yz) y z 36. xe y ye x 1
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EJEMPLO 3 Calcule dy/dx si y (x 2
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p x dx pf(p) dp f(p) Antes de
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La idea de elasticidad puede aplica
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e las relaciones de demanda siguien
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para los cuales la demanda es a) el
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Por otro lado, considere los siguie
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15-1 ANTIDERIVADAS ☛ 1. a) ¿Cuá
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Así, si se quiere integrar cualqui
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Precaución Las variables no pueden
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☛ 7. Determine la función de cos
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67. (Costo marginal) La función de
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☛ 8. Establezca los resultados qu
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Se sigue que 2x 3 dx u 1 2 du
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4x 1 18. dx 2x2 x 1 19. xx 2
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☛ 11. Utilice la tabla para encon
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☛ 13. Utilice una sustitución y
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Solución Elijamos f(x) x y g(x)
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☛ 16. Determine x 3 e x2 dx [Sug
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Integración por partes: f(x)g(x)
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2x) 1/2 . Determine la productivida
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U′(34.15) 0 A la izquierda de es
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16-1 ÁREAS BAJO CURVAS En esta sec
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y y f (x ) A 0 a b x FIGURA 1 a x
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☛ 5. La función de ingreso margi
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y asimismo a b f(x) dx F(x) a b
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(1-26) Evalúe las siguientes integ
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F(a), o bien, b a g(x) dx [F(b) F
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☛ 8. Determine el área entre el
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y 0 2 1 1 2 x 2 y x 2 8 4 6 y x
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☛ 12. Haga un bosquejo del área
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13. y e x , y x 2 ; x 0, x 1 14
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L 2 1 x 1 5 1 x 2 x 0 16 1
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Maximización de la utilidad con re
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con este método, el valor presente
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p SC Curva de oferta p 0 SP Curva d
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espectivamente, en donde el tiempo
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Si f(x) 0 en el intervalo [a, b],
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fórmula T(t) 13 3t 1 3 6 t 2
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Es intuitivamente claro que tendrem
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TABLA 2 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3
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x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 b) La r
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DEFINICIÓN Se dice que una funció
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espondiendo a 1900. Suponga que est
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A A(t t) - A(t) rA(t) t en donde
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17. dy/dt 2y 0; y 1 cuando t 1
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podemos utilizar este método en ve
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te restringido, pero se han encontr
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ya que se da p k/m 0.25/m. Separa
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tinuos de un intervalo dado. Por ej
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1 y y f (x) 1 y (2x 3) 4 y f (x
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ya que e d/200 → 0 cuando d → q
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y y f (x ) x FIGURA 28 la curva c
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23. (Distribución uniforme) El pes
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2. Demuestre que ab 1 dt b 1 22.
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CASO DE ESTUDIO UN PROBLEMA DE INVE
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CAPÍTULO 17 Funciones de varias va
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☛ 1. Si f(x, y) ln (x y) x y
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D {(x, y, z)⏐x 2 y 2 9, x z
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☛ 4. Dibuje curvas de nivel para
Page 742 and 743:
☛ 5. Para la función z x 2 - xy
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3. f(x, t) x t 1 x 2 ; (x, t)
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z f(x x, y) f(x, y) lím x x
Page 748 and 749:
No necesitamos aplicar la fórmula
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☛ 8. Calcule z x , z xx y z xxy p
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46. (Microbiología) En el proceso
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las productividades marginales son
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☛ 12. Dos productos A y B tienen
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☛ 14. El ingreso, R, de una compa
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17-4 OPTIMIZACIÓN En el capítulo
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☛ 16. Sea f(x, y) (x y) 2 2(x
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Resolviendo estas dos ecuaciones, o
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por encima de 10°C y x es la canti
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Un método alternativo (que evita t
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Solución a) Aquí la función a ma
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☛ 20. Vuelva a resolver el ejempl
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19. (Inversiones) Una inversión de
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caigan sobre la línea recta, la l
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☛ 21. Determine la ecuación para
Page 780 and 781:
TABLA 6 Precio (p) 2 2.25 2.50 2.75
Page 782 and 783:
z f(x, y y) f(x, y) lím y y
Page 784 and 785:
la producción de una empresa está
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CASO DE ESTUDIO DECISIÓN SOBRE PRO
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APÉNDICE I Tabla de derivadas est
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x2 1 2 11. dx (ax b) 2 a 3 a
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Integrales que contienen x 2 a 2
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Integrales diversas 1 1 79. dx
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TABLA A.3.1 Logaritmos comunes con
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TABLA A.3.2 Logaritmos naturales (c
Page 800 and 801:
TABLA A.3.3 Funciones exponenciales
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TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
Page 804 and 805:
TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
Page 806 and 807:
Soluciones a problemas con número
Page 808 and 809:
51. 125 minutos 23. u 1, v 3, w 5
Page 810 and 811:
7. x 2 9. 1 2 3 x 2 4 11.
Page 812 and 813:
f) Falso. Si A es una matriz de n
Page 814 and 815:
27. 3 x2 4 2x3/2 29. 5p 4 6p 2
Page 816 and 817:
0.4 0.2 33. 3 3 4 pulgadas 3 3 4 p
Page 818 and 819:
19. 1 9 x 2 8x 1 21. y′ x
Page 820:
i) Falso; si todas las derivadas pa
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Bebidas y conducción de automóvil
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Determinante(s), 380 definición de
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decreciente, 530-534, 541, 551-555
Page 829 and 830:
Mano de obra, 743, 769 utilización
Page 831 and 832:
Programación lineal, 399-440 costo
Page 833:
maximización de la, con respecto a
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Matemáticas aplicadas

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