Matemáticas aplicadas

EJEMPLO 5 Calcule dy/dx si y ln(x c) en donde c es una constante.
☛ 14. Derive
a) y x ln x
b) y x ln (x 1)
c) y x ln x
Solución Tenemos que y es una función compuesta, con y ln u y u x c.
Así que, por la regla de la cadena,
dy
1
(1) ☛ 14
dx du dx du dx
x c
En general, la regla de la cadena nos permite derivar cualquier función compuesta
de la forma y ln u(x) de la siguiente manera:
dy dy du d
(ln u) u(x) 1 u u(x)
dx du dx du
dy du d du
(ln u) 1 u
d u(x)
Así, si y ln u(x), entonces dx u(x)
De manera alternativa, en forma verbal,
d
dx
ln (interior)
1
interior
d dx
(interior)
en donde interior indica cualquier función de x diferenciable.
EJEMPLO 6 Derive ln (x 2 x 2)
Solución Aquí tomamos interior (x 2 x 2)
d
dx
ln (x 2 1 d
x 2) (x 2 x 2)
(x2 x 2) dx
1
(2x 1)
(x 2 x 2)
2x 1
x2 x 2
Respuesta
a) 1 ln x
x
b) ln (x 1)
x 1
c)
ln x 1
(ln x)
2
EJEMPLO 7 Si f (x) ln x/x 2 , determine f ′(1)
Solución Escribimos f (x) u/ en donde u ln x y x 2 . Entonces, u′ 1/x
y ′ 2x. De la regla del cociente,
u′ u′ x
f ′(x) 2 (1/x) (ln x) 2x x 2x ln x 1 2 ln x
2
(x2 ) 2
x
4
x
3
Por tanto,
1 2 ln 1
f ′(1)
1 1
3
ya que ln 1 = 0
516 CAPÍTULO 12 CÁLCULO DE DERIVADAS