Matemáticas aplicadas

35. Durante el otoño, en promedio cada tres días muere la mitad
de la población de moscas. Si inicialmente el tamaño
de la población es de un millón, determine el número de
sobrevivientes después de:
a) 3 semanas.
b) t semanas.
36. (Crecimiento poblacional) La población de cierta ciudad
en el tiempo t (medido en años) está dado por medio de la
fórmula
P 50,000e 0.05t
Calcule la población:
a) Cuando t 10. b) Cuando t 15.
37. (Disminución de población) Cierta región con depresión
económica tiene una población que está en disminución.
En 1970, su población era 500,000, y a partir de ese momento
su población estaba dada por la fórmula
P 500,000e 0.02t
en donde t es el tiempo en años. Encuentre la población en
1980. Suponiendo que esta tendencia continúa, determine
la población para el año 2000.
38. En el ejercicio 36, calcule el crecimiento porcentual anual
de la población.
39. En el ejercicio 37, calcule la disminución porcentual anual
de la población. ¿Es constante o depende de t
40. (Crecimiento de ganancias) Las ganancias de cierta compañía
han ido aumentando en 12% anual en promedio entre
1975 y 1980. En 1980, fueron $5.2 millones. Suponiendo
que esta tasa de crecimiento continúe, encuentre las ganancias
en 1985.
41. (Depreciación exponencial) Una máquina se compra en
$10,000 y se deprecia de manera continua desde la fecha
de compra. Su valor después de t años está dado por la
fórmula
V 10,000e 0.2t
a) Determine el valor de la máquina después de 8 años.
b) Determine la disminución porcentual del valor cada
año.
*42. (Análisis de equilibrio) Por medio de un examen a sus
competidores, una compañía manufacturera concluye que
el número N de sus empleados aumenta exponencialmente
con su volumen de ventas semanales x de acuerdo con la
fórmula N 100e 0.02x . El costo promedio del salario es $6
por hora con una semana laborable de 35 horas. El producto
de la empresa se vende en $2000 cada uno. Dibuje
gráficas del pago semanal y de los ingresos semanales
como funciones de x para 10 x 130, y estime gráficamente
el intervalo de valores de x en el que la compañía
puede obtener ganancias.
6-3 LOGARITMOS
La inversa de una función f (x) se obtiene resolviendo la ecuación y f (x) para x,
de modo que expresemos a x como función de y: x f 1 (y). Podemos considerar
la posibilidad de construir la inversa de la función a x . Con el propósito de lograrlo,
debemos resolver la ecuación y a x para x. Tal ecuación no puede resolverse en términos
de las funciones que conocemos hasta el momento, por lo que debemos
inventar un nuevo nombre para la solución. Escribimos la solución en la forma x
log a
y, la cual denominaremos el logaritmo de y con base a. Así
x log a
y si y sólo si y a x
De la proposición y a x , observamos que a debe elevarse a la potencia x con
el fin de obtener y. Esto nos conduce a una definición verbal alternativa (ya que x
log a
y).
log a
y es la potencia a la cual a debe elevarse para obtener y.
SECCIÓN 6-3 LOGARITMOS 237