Matemáticas aplicadas

☛ 13. Para cada una de las
siguientes funciones y en el punto
x 1, ¿tiene éxito o fracasa la
prueba de la segunda derivada
a) f(x) x 3 3x 2 3x 1
b) f(x) (x 1) 4/7
c) f(x) x(x 4 3 )1/3
d) f(x) x(x 1) 1/3
ba falla. (En efecto, f(x) 0 para toda x 0, así que la función es creciente para
toda x 0, y x 0 no es un extremo local).
b) Considere f(x) x 6/5 . Entonces f(x) 6 5 x1/5 y f(x) 0 en x 0. Éste
es el único punto crítico. Ahora f(x)
6
25 x 4/5 , de modo que f(0) no está definida.
No funciona la prueba de la segunda derivada. (De hecho, la prueba de la primera
derivada, muestra que x 0 es un mínimo local).
c) Considere f(x) x 2/5 . Entonces f(x) 2 3 x3/5 y existe un punto crítico
en x 0 en el que f no está definida. La prueba de la segunda derivada no puede
aplicarse a este tipo de punto crítico. (En realidad, x 0 es un mínimo local).
d) En el ejemplo 4 de la sección 13-2, f(x) 4x 2 (x – 3) con puntos críticos
en x 0 y x 3. Entonces f(x) 12x 2 – 24x. Tenemos f(0) 0 y f(3) 12(3) 2
– 24(3) 36 0. Así que la prueba de la segunda derivada muestra que x 3 es
un mínimo local, pero esta prueba falla en x 0. ☛ 13
Respuesta a) Falla
b) falla
c) tiene éxito (mínimo)
d) falla
Resumen de la determinación de extremos locales por medio
de la prueba de la segunda derivada:
Paso 1. Encontrar f(x) y determinar los puntos críticos. Sea x c un punto
crítico en el que f(c) 0. La prueba de la segunda derivada no puede utilizarse
para un punto en donde f(x) no exista.
Paso 2. Encontrar f(x) y evaluarla cuando x c.
Paso 3. Si f(c) 0, entonces f tiene un máximo local en x c. Si f(c)
0, entonces f tiene un mínimo local en x c. Si f(c) 0 o f(c) no está definida,
entonces la prueba falla.
EJERCICIOS 13-3
(1-12) Encuentre los valores de x para los cuales las siguientes
funciones son a)cóncavas hacia arriba o b)cóncavas hacia abajo.
También determine los puntos de inflexión, si los hay.
1. x 2 4x 7 2. 5 3x x 2
3. x 3 3x 4 4. x 3 3x 2 9x 1
5. x 4 18x 2 5 6. x 7 7x 6 2
7. x 1 x 8. 1
x 2
9. (x 5) 3/4 10. xe x
x
11. 12. x 2 ln x
e
x/2
(13-20) Determine los valores de x para los cuales las siguientes
funciones son a) crecientes; b) decrecientes; c) cóncavas
hacia arriba; d) cóncavas hacia abajo. También, determine los
puntos de inflexión, si los hay.
13. 3x 2 15x 2 *14. x 3 6x 2 15x 7
15. x 4 4x 3 *16. (x 1) 1/5
17. x ln x *18. x
ex
19. x 2 18 ln x *20. ⏐x 2 5x 6⏐
(21-24) (Funciones de costo) Analice la concavidad de las siguientes
funciones de costo.
21. C(x) a bx
22. C(x) 100 x 2
2
SECCIÓN 13-3 LA SEGUNDA DERIVADA Y LA CONCAVIDAD 551