Matemáticas aplicadas

Al igual que en el ejemplo 1, obtuvimos un renglón completo con ceros en la
matriz, que corresponde a la ecuación trivial 0 0. Los otros tres renglones corresponden
a las ecuaciones
☛ 17. Demuestre que el sistema
2x 4y 3z 4,
x 2y z 1
x 2y 2z 3 tiene un número
infinito de soluciones. Proporcione
la forma de la solución.
x y 1, z 3 y t 1
Así pues, observamos que en este caso ciertas variables (z y t) tienen valores
definidos, mientras que las otras (x y y) no. Otra vez el número de soluciones es infinito,
puesto que podemos permitir que y tome cualquier valor; x está dada entonces
por x y 1. ☛ 17
Existen sistemas que no tienen ninguna solución.
EJEMPLO 3 Resuelva el siguiente sistema:
3x 3y 2z 39
3x 2y 7z 20
2x 7y 3z 27
Solución Reducimos la matriz aumentada del sistema de la siguiente manera:
1 1 2 9 R 2
3R 1
1 1 2 9
R
3 2 7 20 0 5 1 7
3
2R 1
⎯⎯⎯⎯⎯→
2 7 3
27
0 5 1
9
Respuesta z 2, x 2y 1,
y es arbitraria.
1 5 R 2
⎯⎯⎯→
1 0
1 1 38
1 1 2 9 R
1
R 5 5
0 1
0 1
2
1
5 7 5 R 1 3
5R 2
5 7 5
⎯⎯⎯⎯⎯→
0 5 1
9
0 0 0
2
☛ 18. Reduzca la matriz
aumentada del sistema
2x 4y 3z 4
3x 2y z 0
5x 6y 4z 3
y de aquí demuestre que el sistema
es inconsistente.
Las primeras dos columnas están en la forma deseada de una matriz identidad. Sin
embargo, no pudimos poner un 1 en la tercera columna y tercer renglón sin alterar
aquellas dos columnas, de modo que la reducción no puede continuarse aún más.
Examinamos la ecuación representada por el tercer renglón.
0x 0y 0z 2, o 0 2
Es claro que esta ecuación es absurda. Así que, el sistema no tiene ninguna solución,
esto es, no existen valores de x, y y z que satisfagan las tres ecuaciones del sistema.
☛ 18
Respuesta La forma reducida es
1 0
1 4 1
0 1
7 8 3 2
0 0 0 1
En general, un sistema no tendrá ninguna solución si se obtiene un renglón en
que todos los elementos sean cero excepto el último.
Hemos visto tres posibilidades para la solución de un sistema. Puede tener una
solución única, un número infinito de soluciones o ninguna solución. Se dice que un
sistema es consistente si tiene al menos una solución, o que es inconsistente si no
tiene ninguna. El sistema del ejemplo 3 es inconsistente; pero los ejemplos 1 y 2 (así
como todos los ejemplos de la sección 8-3) son sistemas consistentes.
SECCIÓN 8-4 SISTEMAS SINGULARES 345