Matemáticas aplicadas

Puede observarse que los elementos a la derecha de la línea vertical en la matriz
aumentada (3) forman una matriz identidad 2 2. Por ello, esta matriz aumentada
puede abreviarse como A I. Si transformamos A I a su forma reducida, al
mismo tiempo reduciremos las dos matrices aumentadas que aparecen en la ecuación
(2) y, por tanto, resolveremos los dos sistemas lineales que se advierten en la
ecuación (1) a la vez.
En este ejemplo, A I se reduce por la sucesión siguiente de operaciones entre
renglones.
A I
1 3 1 0
R 2
2R 1 3 1 0
1
0 1 2 1
2 5 0 1
R 1 3 1 0
2
0 1 2 1
R 1
3R 1 0 5 3
2
0 1 2 1
Ésta es la matriz reducida requerida, puesto que tienen una matriz identidad a
la izquierda de la línea vertical. Los elementos a la derecha de esta línea son las soluciones
de los dos sistemas dados por la ecuación (1); en otras palabras, forman la
matriz
a b
5 3
c d
Pero esta matriz es la inversa de A. Por tanto, concluimos que en la forma reducida
de la matriz aumentada A I, la inversa de A aparece a la derecha de la línea
vertical. Resumiendo: Sea A una matriz cuadrada invertible de tamaño n n, y
sea I la matriz identidad del mismo tamaño. Entonces, la forma reducida de A I es
I A 1 .
EJEMPLO 3 Encuentre A 1 , dada
A
2
1 2 3
2 5 7
3 7 8
1
Solución
1 2 3 1 0 0
A I
R 2
2R 1
2 5 7 0 1 0 R 3
3R
1
3 7 8 0 0 1
R 1
2R 2
R 3
3R 2
1 2 R 3
1 2 3 1 0 0
0 1 1 2 1 0
0 1 1 3 0 1
1 0 1 5 2 0
0 1 1 2 1 0
0 0 2 1 1 1
1 0 1 5 2 0
0 1 1 2 1 0
0 0 1 1 2 1 2 1 2
358 CAPÍTULO 9 INVERSAS Y DETERMINANTES